2005年全国高中数学联赛（安徽赛区）初赛试题

2005年全国高中数学联赛（安徽赛区）初赛一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知，1m1amm=+−，1bmm=−−.那么，（）.A.B.C.D.、的大小与的取值有关ababab=abm2.在(的展开式中，含)5232xx++x项的系数是（）.A.160B.240C.360D.8003.如图，已知正方体中，点1111ABCDABCD−E、F分别在、1AB1BC上（不与线段的端点重合），且AEBF=，那么下面个结论：（1）41AAEF⊥；（）∥211ACEF；（）3EF∥平面；（）1111ABCD4EF11AC与异面.正确的是（）.A.（2）（）B.（1）（）C.（）（）D.（）（）442313BADC1DACB111EF4.已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，，依它的前10项的规律，这个数列的第项满足（）.20052005aA.B.200512a≤≤2005112a≤≤C.2005102aD.20052a5.若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称这样的正整数为“好数”.那么，所有这样的好数的个数为（）.A.101B.1011C.1010D.100136.设集合{}201A=−，，，{}12345B=，，，，，映射f：使对任意A→BxA∈都有()()xfxxf++x是奇数，则这样的映射f的个数是（）.A.B.C.15D.114527二、填空题（每小题9分，共54分）7.函数的反函数为()yfx=()1yfx−=，()1yfx=−的图像过点（3，3）.则函数()12yfx−=+的图像一定过点.8.椭圆22221xyab+=（）的右顶点为0abA，上顶点为B，左焦点为，且，则椭圆的离心率为F90ABF∠=D.9.在正三棱锥中，SABC−M、分别是、的中点.若截面NSBSCAMN⊥侧面，则此棱锥侧面与底面所成的二面角的大小是SBC.10.已知集合M＝{x|x＝122lim2nnnnλ+→∞−+，λ为常数，且20λ+≠}.则M的所有元素的和为.11.设函数()24sinsincos242xfxxπ⎛⎞=⋅++⎜⎟⎝⎠x.若()2fxm−成立的充分条件是263xππ≤≤，则实数的取值范围是m.12.若（、）是一个完全平方数，则所有可能的（，）62mn++2mnN∈mn=.三、解答题（每小题20分，共60分）13.已知函数()2fxaxbxc=++（、、abcR∈），当[]11x∈−，时，()1fx≤.（1）证明：1b≤；（）若，，求的值.2()01f=−()1f=1a14.已知常数，向量，0a()10p=JG，()0q=aG，，经过定点()0Ma−，，方向向量为pqλ+JGG的直线与经过定点，方向向量为(0Na，)2pqλ+JGG的直线交于点R，其中Rλ∈.（1）求点R的轨迹方程；（）设222a=，过的直线交点(01F，)lR的轨迹于、AB两点，求FAFB⋅JJJGJJJG的取值范围.15.已知在数列{}na中，，1at=22at=，其中，0txt=是函数()()31131nnn1fxaxtaax−+=−+−⎡⎣+⎤⎦（）2n≥的一个极值点.（1）求数列{}na的通项公式；（）若2122t，221nnnaba=+（nN+∈），求证：21211122nnnbbb−+++−.