2007年全国高中数学联赛（安徽赛区）初赛试题

2007年全国高中数学联赛（安徽赛区）初赛一、选择题1.如果集合，AB同时满足{}1234AB=∪，，，，{}1AB=∩，{}1A≠，{}1B≠就称有序集对()AB，为“好集对”.这里的有序集对()AB，意指当AB≠，()AB，和()BA，是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个.A.B.C.D.648622.设函数，方程()()lg101xfx−=+()()122xxff−−=的解为（）.A.B.()2loglg21−()2lglog101−C.()lglg21+D.()22loglog101+3.设是一个1203位的正整数，由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么100101102499500A=A除以126的余数是（）.A.B.C.6D.783604.在直角ABCΔ中，，CD为斜边上的高，D为垂足.90C∠=ADa=，BDb=，.设数列{1CDab=−=}ku的通项为，()21kb−+−12kba−−+kbkkuaa=−k1k=，，，，则（）.23A.B.200820072006uuu=[phone]uuu=−C.D.2008200720082007u=u2008200720072008uu=5.在正整数构成的数列1，3，，，删去所有和互质的项之后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{5755}na，易见，1a1=2a3=，37a=，4a9=，513a=，，那么（）.2007a=A.9697B.C.D.5519283127596.设0001cos31cos71cos111cos87A=+++++++0，0000:AB1cos31-cos71cos111cos87B=−++−+−，则=（）.A.222−B.222+C.21−D.21+二、填空题7.边长均为整数且成等差数列，周长为的钝角三角形一共有60种.8.设，且为使得2007n≥n()2222nnai=−++取实数值的最小正整数，则对应此的为nna.9.若正整数恰好有个正约数，则称为奇异数，例如6，810都是奇异数.那么274，1113383579这10个数中奇异数有n，44n9，，在，，，，，，26911257399999个.10.平行六面体中，顶点1111ABCDABCD−A出发的三条棱1AA，AB，AD的长度分别为，，，且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线，234601AC1BD，，的长度（按顺序）分别为1DB1CA.11.函数()fx，()gx的迭代的函数定义为()()()1fxfx=，()()()2fxffx=⎡⎤⎣⎦，，()()()()1nnfxf⎡⎤=⎣⎦f−x(，)()()gxgx=1，()()()ggx=2gx⎡⎤⎣⎦，，，其中，3，，.设()()()()1nngxgg−=x⎡⎤⎣⎦2n=4()23fxx=−，()3x2gx=+，则方程组()()()()()()()()()()()()969696fxgyfygzfzgx===⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎨的解为.12.设平行四边形中，ABCD4AB=，2AD=，23BD=，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为ABCDAC.三、解答题13.已知椭圆Γ：22341xy2+=和点()0Qq，，直线l过Q且与Γ交于，AB两点（可以重合）.（1）若AOB∠为钝角或平角（为原点），O4q=，试确定l的斜率的取值范围.（）设2A关于长轴的对称点为，F为椭圆的右焦点，1A4q=，试判断和，1AFB三点是否共线，并说明理由.（3）问题（）中，若，那么，，24q≠1AFB三点能否共线？请说明理由.14.数列{}nx由下式确定：1221nnnxxx+=+，1n=，，，，2311x=，试求2007lgx整数部分[]2007x=lgk.（注[]a表示不大于的最大整数，即的整数部分.）aa15.设给定的锐角ABCΔ的三边长，b，c，正实数ax，y，满足zayzbzxcxypxyz++=，其中为给定的正实数，试求p()()()c22cabyaz−−−2sb=+xc+a+b++的最大值，并求出当取此最大值s时，x，，yz的取值.