2012年全国高中数学联赛模拟试题（8）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（8）一试一、填空题：1求方程22sin()10xxxy的实数解_____________2已知数列{}na满足*11212,()46nnnaaanNa，则2010a________3两位数)0,0(baab若满足1),(baab，则称ab为好数，则好数共有_____个。4两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_______个。5若a是12b与12b的等比中项，则22abab的最大值为。6已知抛物线xy42及其上的一点P,焦点)01(，F和)225(，A，则22PAPF的最小值为。7有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置方案。8设常数k使得方程222250xyxyxyk在平面直角坐标系xOy中表示两条相交直线，交点为P.若点,AB分别在这两条直线上，且1PAPB，则PAPB______.二、解答题：9已知Rwzyx，,,，求222232wzyxzwyzxyM的最大值。10数列{}na定义如下：21142,2nnaaa，而数列{}nb定义为nb*1,2Nnann（1）求{}na的通项公式（2）证明：*1,.nnbbnN（3）证明：*7,.nbnN11已知椭圆)0(12222babyax，其长轴为AA1，P是椭圆上不同于AA,1的一个动点，直线1,PAPA分别与同一条准线l交于1,MM准线两点，试证明：以线段1MM为直径的圆经过椭圆外的一个定点。二试1、在等腰△ABC中,AB=AC,D是边AC的中点,E是点D在BC上的投影,F是DE的中点.证明:BF垂直于AE的充要条件是:△ABC是正三角形.2、设△ABC的三边分别是a,b,c，且a+b+c=3.求证：2934313222abccba.3、设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d1d2…dk=n。再设D=d1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk。(i)证明：Dn2；(ii)确定所有的n，使得D整除n2。4、用100种颜色对100100的棋盘进行染色，使得每一格均被染为其中一种颜色且每种颜色恰好使用了100次.求证：棋盘上存在一行或一列，其中的方格被染为至少10种颜色。ACBDEGFH