数学：2011年南京理工自主招生、保送生考试

2011年南京理工大学自主招生、保送生考试数学试卷一.填充题:本大题共20小题,每小题5分,共计100分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集3,,lg0xUyyxRAxx,则UCA▲2.若命题“2,40xRxmx”是假命题,则实数m的取值范围为▲.3.已知圆O:221xy,直线:4lxy.过l上一点P作圆O的切线,则当切线长最短时,P点的坐标为▲4.函数21cos28sin()(0)sin22xxfxxx的值域为▲5．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.观测次数i12345678观测数据ia4042414444454748在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图（其中a是这8个数据的平均数），则输出的S的值是▲6.已知平面向量,满足:0,,1,与的夹角为60,则的取值范围为▲7.已知正三棱柱的底面边长为1,两侧面的异面的对角线互相垂直,则该三棱柱的侧棱长为▲8.某公司在2010年投资了一个项目,每年都既有现金投入,又有现金收入.已知2010年度公司投入了1000万元,以后每年投入将比上年减少20%;2010年度公司收入了500万元,以后每年收入会比上年增加25%.按此计算,公司将于▲年即可收回全部投入.(参考数据:65430.80.262,0.80.328,0.80.410,0.80.512)9.已知椭圆2212221(0),,xyabFFab为其左右焦点,P为椭圆C上任意一点,I为12PFF内切圆圆心,点G满足123PFPFPG且12GIFF(R且0),则椭圆的离心率是▲10.已知关于x方程20axbxc，其中a、b、c是非零向量，且a、b不共线，则该方程实数解的个数为▲个11.已知lg(1)1,0,()lg(1)1,0,xxfxxx若不等式(1)(2)faxfx在[3,4]上有解,则实数a的取值范围为▲12.已知mN，若函数()24fxxmxm存在整数零点，则m的取值范围为▲13.设x表示不超过x的最大整数,例如:[1.3]2,[2]2,[2.5]2等.则方程2tan2sinxx在[0,2)内的解组成的集合为▲14.已知数列na满足:111()1nnnnaannNaa,且428a,则na的通项公式为na▲15.已知23(axyaa为正常数,0,0)xy,若22xy的最大值为S,且[49,121]S,则a的取值范围为▲16.已知函数1()sin,[0,π]3fxxxx.01cos3x（0[0,π]x），那么下面命题中真命题的序号是▲:①()fx的最大值为0()fx;②()fx的最小值为0()fx;③()fx在0[0,]x上是减函数;④()fx在0[,π]x上是减函数.17.已知函数()1fxxxa,若(0,3)a且()fx在区间[1,2]上的最小值为32,则a▲18.设函数()fx是定义在R上的奇函数,且对任意的12,[1,]xxa,当21xx时,总有2()fx1()0fx,则下列不等式一定成立的是▲(填上你认为正确的结论的序号):①()(0)faf;②1()()2affa;③13()(3)1affa;④13()()1affaa19.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.定义()11,Pxy、()22,Qxy两点之间的“直角距离”为1212(,)dPQxxyy=-+-,若点Q在直线l上运动,定义min(,)(,)dPldPQ.已知点()1,0B，直线M的方程为30(0)kxykk-++=，则(,)dBM的最大值为▲20.已知函数3sincos()(,)3cosabxxbxxfxabRx,若()fx在R上既有最大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为6,则ab▲.二.解答题:本大题共6小题,共计100分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（本小题满分14分）在锐角ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,已知sin2abC.（Ⅰ）若tan3A,求tanB的值;（Ⅱ）求tanB的最大值.22.（本小题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC==，90ACB?o，侧面PAB为等边三角形，侧棱22PC=,E为PB中点.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求证：平面PAB^平面ABC；ECBAP（Ⅲ）求点E到平面PAC的距离.23.（本小题满分14分）某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量()rx(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：1()rxkxb，在销售淡季近似地符合函数关系：2()rxkxb，其中12120,0kbbkbb、且、、为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中()0rx时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(Ⅰ)分别写出销售旺季和销售淡季销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式(含k、1b或2b);(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？24.（本小题满分18分）已知点(1,)My在抛物线2:2Cypx(0)p上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线:l12yxb与抛物线交于,AB两点.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值.25．（本小题满分20分）如图,111(,)Pxy，222(,)Pxy，，(,)nnnPxy，12(0,)nyyynN是曲线2:3(0)Cyxy上的n个点，点(,0)(1,2,3,,)iAain在x轴的正半轴上，1iiiAAP是正三角形(0A是坐标原点).（Ⅰ）求123,,aaa；（Ⅱ）求出点nA(,0)(*)nanN的横坐标na关于n的表达式；（Ⅲ）设12321111nnnnnbaaaa，若对任意正整数n及(0,2]x,不等式31726nxaxb恒成立,求实数a的取值范围.26．（本小题满分20分）已知实数a满足02,1aa,设函数3211()32afxxxax．(Ⅰ)当2a，求()fx的极小值；(Ⅱ)若函数22()(24)ln()gxaxbxbxxbR的极小值点与()fx的极小值点相同．求()gx的极大值的最大值,并求取到最大值时,ab的值．数学自主招生、保送生考试数学试卷参考答案一.填充题:本大题共20小题,每小题5分,共计100分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(0,1)2.[4,4]3.(2,2)4.[4,)5.5586.23(0,]37.228.20149.1210.0或111.2(,0)(,)312.0,3,813.50,,,4414.22nn15.13[,][2,4]3516.①④17.12或9418.①②④19.520.8二.解答题:本大题共6小题,共计100分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）sin,sinsinsinabaBbABA.2sinsin,sin.2sinsinsin2sinaaBbCaCBACA.…………………2分,sinsin()sincoscossinABCBACACAC,2sincos2cossinsincosACACAC,221tantanAC…………………4分又tan3A,得tan6Ctantan9tantan(())tan()1tantan17ACBACACAC…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,221tantanAC,即1tantantantan.2ACACABC为锐角三角形,tan,tanAC均为正数,tantan2tantanACAC,当且仅当1tantan4AC时等号成立.…………………10分1tantan2tantan,tantan162ACACAC当且仅当1tantan4AC时等号成立.1tantantantan112tan(1)1tantantantan12tantan1ACACBACACAC.8tan15B,即tanB的最大值的最大值为815.…………………14分22.（本小题满分14分）解:（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，因为APBP=，所以PDAB^.…………1分又ACBC=，所以CDAB^.…………………2分因为PDCDD=I，所以AB^平面PCD.因为PCÌ平面PCD，所以PCAB^.………5分（Ⅱ）由已知90ACB?o，2ACBC==，所以2ADBDCD===，22AB=.又PABD为正三角形，且PDAB^，所以6PD=.……………………6分因为22PC=，所以222PCCDPD=+.所以CDPD^.……………………………………………8分又CDAB^,AB平面PAB,PD平面PAB,ABPDD所以CD平面PAB.CABPEDCD平面ABC,平面PAB^平面ABC.……………………………10分（Ⅲ）设B到平面平面PAC的距离为h,E为PB的中点,E到平面平面PAC的距离为2h.……………………………11分由PACBBPACVV,得11242337ABCPACSPDShhE到平面平面PAC的距离为2h=427……………………………14分23.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）旺季112100)100(bxbkkxy,淡季222100)100(bxbkkxy…………………5分（Ⅱ）在（Ⅰ）的表达式112100)100(bxbkkxy中，由0k可知，在销售旺季，当kbkbkx250210011时，利润y取得最大值；在销售淡季，当kbkbkx250210022时，利润y取得最大值…………………7分下面分销售旺季和淡季进行讨论：由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格出售时，能获得最大利润.因此在销售旺季，当标价1402501kbx时，利润y取得最大值。此时，kb1801，销售量为kkxxr180)(.…………………10分令0180kkx得180x，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件.可见在销售淡季，当标价120x时，0)(2bkxxr，∴01202bk，∴kb1202.…………………12分∴在销售淡季，当1102120502502kkkbx时，利润y取得最大值，故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件.…………………14分24.（本小题满分18分）解：（Ⅰ）抛物线22ypx(0)p的准线为2px，…………………1分由抛物线定义和已知条件可知||1()1222ppMF，…………………3分解得2p，故所求抛物线方程为24yx.…………………4分（Ⅱ）联立2124yxbyx，消x并化简整理得2880yyb.依题意应有64320b，解得2b.…………………5分设1122(,),(,)AxyBxy，则12128,8yyyyb…………………7分设圆心00(,)Qxy，则应有121200,422xxyyxy.因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为0||4ry，…………………8分222212