[高一]第八届希望杯全国数学邀请赛试题

智浪教育-普惠英才第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级姓名一、选择题1、)(xf是定义域为R的奇函数，下列结论中正确的是--------------------------（）（A）0)()(xfxf（B）0)()(xfxf（C）0)()(xfxf（D）0)()(xfxf2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1与A1B所成角相等于------------------------（）（A）300（B）450（C）600（D）9003、2cos12sin122等于--------------------------------------------------------（）（A）2sin2cos（B）2sin2cos（C）2sin2cos（D）2sin2cos4、等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折为二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为-----------------------------（）（A）300（B）600（C）900（D）12005、以下函数中，在区间)0,(上是增函数的函数是-------------------------------（）（A）)(log5.0xy（B）2)1(xy（C）21xy（D）xxy16、已知},34|{ZkkM，},322|{ZkkN，},2|{ZkkP，则集合M、N、P满足关系式------------------------（）（A）)(PNM（B）)(PNM（C）)(PNM（D）)(PNM7、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是-------------------------------------------------------------------------------------（）（A）相等（B）互补（C）相等或互补（D）不能确定的8、对于任意实数t，函数nmxxxf2)(都有)2()2(tftf，则有-（）（A）)4()1()2(fff（B）)4()2()1(fff（C）)1()4()2(fff（D）)1()2()4(fff9、若函数)(1xf和)(2xf都是周期函数，最小正周期都是T，对于函数)(1xfy)(2xf，以下判断中，正确的是------------------------------------------（）（A）最小正周期是T（B）有最小正周期t，且Tt（C）是周期函数，但可能没有最小正周期（D）可能是非周期函数10、5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形，空间五边形的5条边所在直线中，互相垂直的直线对至多有-----------------------------------------------------------------（）（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对二、A组填空题11、若函数22)(xxxf，则)1()1(ff。12、函数22xy)1(x的反函数为。13、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，PA⊥平面ABCD，PA=1，则P点到BD的距离等于。智浪教育-普惠英才14、函数3412)(xxxf，则)2(1f的值是。15、函数xxy1的值域为。16、若22loga，则a的取值范围是。17、关于x的方程xaaxlog有且仅有一个在)1,0(内的实根，那么a的取值范围是。18、正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-B1的大小为。19、三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，且二面角H-AB-C的大小为300，则SA:AB=。20、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，BC=3，在线段BD、A1C1上各有一动点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=2MQ，则M点轨迹图形的面积为。三、B组填空题21、过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面，若截面是等腰三角形，侧面与底面所成角为，则cos。22、若1cossin，则2cos的值等于。23、若xqxpxxxf234)(对一切Rx，都有xxf)(，且1)1(f，则p、q的值分别为。24、方程xxxlg)(lg的解为。25、函数21)(2xxxf，]1,[nnx（n是整数）的值域中恰有10个不同整数，则n的值为。智浪教育-普惠英才第八届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试班级姓名一、选择题1、集合},412|{ZkkxxP，},42|{Zkkxxq，则有----------（）（A）QP（B）QP（C）QP（D）QP2、方程4|cos||sin|xx的解的情况为--------------------------------------------（）（A）无解（B）有无数个解（C）有唯一解（D）有多于1个的有限个解3、函数xy4sin2的图象在y轴右边的第3条对称轴的方程是----------------（）（A）89x（B）10x（C）213x（D）85x4、如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1、ABCD的中心，G为CC1的中点，设GF与AB所成的角为，C1E与AB所成的角为，则--------------------------------------（）（A）300（B）600（C）900（D）12005、在xoy平面内，如果一条直线上只有一个点在幂函数的图象上，这条直线上除这个点外的任何一点都不在任何一个幂函数的图象上，这样的直线称为“特殊直线”，关于“特殊直线”的数目，下列各说法中正确的是---------------------------------（）（A）1（B）2（C）不少于3（D）06、三棱锥6条棱所在直线中，互相垂直的成对直线至多有----------------------（）（A）5对（B）6对（C）7对（D）9对7、函数)1(xfy与函数)1(1xfy的图象---------------------------------（）（A）关于直线xy对称（B）关于直线1xy对称（C）关于直线1xy对称（D）关于直线xy对称8、1l、2l是异面直线，以下命题中错误的是----------------------------------------（）（A）存在唯一的平面与1l、2l都平行，且与1l、2l距离相等（B）过1l、2l外一点能作且只能作一个平面与1l、2l都平行（C）与1l、2l都垂直的直线有无穷多条（D）不存在与1l、2l都垂直的平面9、设)(xf是区间),(上的奇函数，)()3(xfxf，当230x时，xxf)(，则)1997(f等于--------------------------------------------------------------（）（A）1（B）0（C）-1（D）199710、将棱长为5的正方体锯成棱长为1的125个小正方体，锯12次可达到目的，请你想法尽可能少锯几次，那么至少需要锯-----------------------------------------（）（A）7次（B）8次（C）9次（D）10次二、填空题11、yxyxlglg)2lg(2，则yx:的值等于。ABCGC1D1EFDA1B1智浪教育-普惠英才12、当1a时，若函数2321)(2xxxf的定义域和值域都是],1[a，则a。13、若函数2)1(2)(2xaxxf在区间]4,(上是减函数，则实数a的取值范围是。14、已知函数)1lg()(22xxxxf，且627.4)2(f，则)2(f。15、AA’DB是等腰梯形，AB=A’D，下底BD=2，上底AA’=4，S、C分别是AA’、BD的中点，SC=1，沿SB、SC、SD折叠，使这梯形成为一个四棱锥S-ABCD的各侧面（A、A’重合），则此棱锥底面上的对角线AC的长等于。16、对于函数)(xf与)(xg，规定：当)()(xgxf时，)(xf※)(xg=)(xf；当)()(xgxf时，)(xf※)(xg=)(xg。已知xxf3)(，21)52()(xxg，则)(xf※)(xg的最大值为。17、若一个圆锥中有三条母线两两垂直，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为。18、长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与面AB1成250角，BD1与面A1C1成450角，则BD1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于。19、平行光线照射到一个棱长为1的正方体上，在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S，则S的最大值为。20、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是332的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是。三、解答题21、空间从O点出发的4条射线OA、OB、OC、OD两两所成角相等，求OA与平面OBC所成角的余弦值。22、已知函数cxbxaxfsinsin)(2，其中a、b、c是非零实数，甲、乙两人做一游戏：他们轮流确定系数a、b、c（如甲令1b，乙令2a，甲再令3c）后，如果对于任意实数x，0)(xf，那么甲得胜；如果存在实数x，使0)(xf，那么乙得胜。甲先选数，他是否有必胜策略？为什么？如果a、b、c是任意实数，结论如何？为什么？