闸北区2011学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

闸北区2010学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷2011.4一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知z和iz12都是纯虚数,那么z．2．函数)cos(sinxxy)R(x的单调递增区间为．3．某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为．4．在极坐标系中，圆sin2的圆心的极坐标为．（写出一个即可）5．下列三个命题：①若||||baba，则0ba；②若0a，caba，则cb；③若||||||baba，则ba//．其中真命题有．（写出所有真命题的序号）6．有一公园的形状为ABC，测得3AC千米，1AB千米，60B，则该公园的占地面积为平方千米．7．设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12的球面上，则该正方体的体积为．8．设)(xf是R上的奇函数，)(xg是R上的偶函数，若函数)()(xgxf的值域为)3,1[，则)()(xgxf的值域为．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为，则随机变量的数学期望E_____．10．若函数1log2)(|3|xxfax无零点，则a的取值范围为．11．设2loglogyxba，2ba，则yx的取值范围为．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设ba,R，则“ba”是“33ba”的【】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件13．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为【】A．4B．3C．2D．114．一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的%10，然后再种植2500棵树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在【】A．22000颗B．23500颗C．25000颗D．26500颗15．已知)1,2(A，)1,1(B，O为坐标原点，动点P满足OBnOAmOP，其中Rnm、，且2222nm，则动点P的轨迹是【】A．焦距为3的椭圆B．焦距为32的椭圆C．焦距为3的双曲线D．焦距为32的双曲线三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设函数)12(log)(2xxf，Rx.（1）求)(xf的反函数)(1xf；（2）解不等式)(2xf)5log(21xf.17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交a元（62a）的管理费，预计当每件产品的销售价为x元（97x）时，一年的销售量为)12(x万件．（1）求该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大，并求L的最大值)(aQ．18．（满分15分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题6分．如图，平面上定点F到定直线l的距离2FA，曲线C是平面上到定点F和到定直线l的距离相等的动点P的轨迹．设FB，且2FB．（1）若曲线C上存在点0P，使得ABBP0，试求直线BP0与平面所成角的大小；（2）对（1）中0P，求点F到平面0ABP的距离h．19．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．在数列}{na中，51a，2431naann，其中*Nn．（1）设nabnn2，求数列}{nb的通项公式；（2）记数列}{na的前n项和为nS，试比较nS与nn20112的大小．20．（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．在ABC中，A、B为定点，C为动点，记A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2c，且存在常数)0(，使得2cos2Cab．（1）求动点C的轨迹，并求其标准方程；（2）设点O为坐标原点，过点B作直线l与（1）中的曲线交于MN，两点，若ONOM，试确定的范围．高三数学（理科）期中练习卷评分标准与参考答案（2011.4）一、1.i2；2．Zkkk],42,432[；3．18；4．)23,1(或)2,1(或)2,1(等；5．①③；6．23；7．8；8．]1,3(；9．65；10．),3(；11．),2(．二、12.C；13．B；14．C；15．D．三、16．解：（1）)12(log)(21xxf，),0(x．………………………………5分（2）由)(2xf)5log(21xf，得FABPlE05log2x，且)12(log22x)12(log5log22x，0223)2(22x，………………………………………………………………5分221x，10x综上，得10x．………………………………………………………………2分17．解：（1）该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式为：)12)(2(xaxL，]9,7[x．………………………………………………………6分（2）当42a时，此时，92148a，所以，当214ax时，L的最大值4)10()(2aaQ，………………………………3分当64a时，此时，102149a，所以，当9x时，L的最大值)7(3)(aaQ．…………………………………………3分答：若42a，则当每件产品售价为214a元时，该分公司一年的利润L最大，最大值4)10()(2aaQ；若64a，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润L最大，最大值)7(3)(aaQ．………………………………………………………2分18．解：（1）【解法一】如图，以线段FA的中点为原点O，以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系xyzO．…………………1分由题意，曲线C是平面上以原点O为顶点，由于在xOy平面内，C是以O为顶点，以x轴为对称轴的抛物线，其方程为xy42，因此，可设)0,,4(2yyP…………………………2分)0,0,1(A，)2,0,1(B，所以，)2,0,2(AB，)2,,41(2yyPB．………………2分由ABBP0，得3204)41(22yy，)0,32,3(P……………………2分所以，直线BP0与平面所成角的大小为21arctan（或33arcsin）．………………2分【解法二】如图，以点A为原点O，以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系xyzO．……………………………………………………………………………1分所以，)0,0,0(A，)2,0,2(B，)0,0,2(F，并设)0,,(yxP，由题意，.,222PEPFAPABPB……………………………………………………………4分.)2(,84)2(2222222xyxyxyx)0,32,3(P………………………………………2分所以，直线BP0与平面所成角的大小为21arctan（或33arcsin）．………………2分（2）【解法一】由（1），得ABP的面积为102ABPS，……………………………1分AFP的面积为32AFPS，……………………………………………………………1分BFAPlxOyz所以，2323110231h，…………………………………………………………3分解得，530h．………………………………………………………………1分【解法二】)2,0,2(AB，)0,32,4(AP，设向量),,(zyxn则0324,022yxzx所以，平面0ABP的一个法向量)3,32,3(0n，………………………………………3分530||||00nnAFh．……………………………………………………………………3分19．解：（1）由2431naann得)2(3)1(21nanann，又0121a，02nan，得32)1(21nanann，………………………………3分所以，数列}2{nan是首项为3，公比为3的等比数列，………………………………2分所以，nnb3．……………………………………………………………………2分（2）nnnnnana3232，)1()13(23nnSnn，…………………………………………………………………2分)113403(232010)13(23)2011(2nnnnSnnn．…………………………1分设113403ncnn，由于1nc134032nnc…………………………………………………………………………………………………2分当6n时，1ncnc当6n时，1ncnc即，当6n时，数列}{nc是递减数列，当6n时，数列}{nc是递增数列………………2分又040181c，041608c，076229c所以，当8n时，nSnn20112；…………………………………………2分所以，当8n时，nSnn20112．…………………………………………2分20．解：（1）在PAB△中，由余弦定理，有Cabbacos22222，……………1分2122cos12)cos1(24||2CabCabba，……………………3分所以，点P的轨迹C是以AB，为焦点，长轴长122a的椭圆．（除去长轴上的顶点）…………………………………………………………………………………………1分如图，以A、B所在的直线为x轴，以A、B的中点为坐标原点建立直角坐标系．则，(10)A，和(10)B，．椭圆C的标准方程为：1122yx)0(y．…………………………………………4分（2）设11()Mxy，，22()Nxy，，①当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，由题意，有(11)M，，(11)N，在椭圆上．即2511111，由0，得.251………………………………1分②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)ykx．由)1(,1122xkyyx得：0))(1()1(2])1([2222kxkxk，………2分由题意知：0)1(2k，所以2221)1()1(2kkxx，2221)1())(1(kkxx．于是：2222121221221)1(]1)([)1)(1(kkxxxxkxxkyy．因为ONOM，所以0ONOM，所以0)1()1(22222121kkyyxx，………………………………………4分所以，01222k，由0得012，解得.2510…………………………………………2分综合①②得：.2510………………………………………………………………1分