［初中数学竞赛讲座］面积问题和面积方法

竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1.面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，.则△的面积有如下公式：(1);(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)2.面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和;(2)两个全等形的面积相等;(3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等;(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方;(6)共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则;(7)共角比例定理：在△和△中，若或，则.3.张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是：.例题分析例1.梯形的对角线相交于，且，，求例2.在凸五边形中，设，求此五边形的面积.例3.是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积.例4.分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值.例5.过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示△的面积.求证：.例6.在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和.求证：.例7.锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似.求证：(1)三角形的面积是六边形的面积的二倍;(2)三角形的面积至少是三角形的四倍.例8.在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：.例9.在锐角△的边边上有两点、，满足，作，(是垂足)，延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等.三.面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证(解)题.例10.凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积.例11.已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：.例12.在内，且∽，求征：例13.在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积.例14.为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分.例15.已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：.例16.正△正△，，，，，，.求证：.例17.在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点.例18.已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值.例19.设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切.训练题1.设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积.2.过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积.3.在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的.4.锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的面积.5.在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：.6.三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长.7.已知及其内任一点，直线分别交对边于()，证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2.8.点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：.9.已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值.10.过点P作四条射线与直线分别交于和，求证：.11.四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：.12.为的重心，过作直线交于，求证：