［初中数学竞赛讲座］函 数

竞赛讲座(27)-函数1.函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.(1)求函数的定义域例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数求自变量取值范围.解-2X-1，或-1X0，或0X2，或2X≤3.或者写成-2X≤3，且X≠0，2.p例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为[0，1]，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a0).解由若0A时,X∈[A,1-A];p若a时,函数关系不存在.(2)关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1).分析若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3=(x2+1)2+3(x2+1)-1，∴f(x)=x2+3x-1，∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.②换元法令x2+1=t，则x2=t-1.由f(x2+1)=x4+5x2+3有f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.例4(1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，f(x+1)=2x+1[a(x+1)2+b(x+1)+c]=2·2x[(ax2+bx+c)+2ax+a+b]=2f(x)+2·2x(2ax+a+b)由f(x+1)-f(x)=2x·x2有2x(ax2+bx+c)+2·2x[2ax+a+b]=2x·x2，在上式中，令x=0得2a+2b+c=0;①令x=1得7a+3b+c=0;②令x=2得14a+4b+c=0.③由①，②，③解出a=1，b=-4，c=6，∴a+b+c=3.(3)关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.例5对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).解∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.例6(第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数().(A)恰有一个(B)恰有两个(C)不存在(D)有无穷多个，但并非一切非零实数(E)是一非零实数解f(x)+2f=3x.①以换x得f+2f(x)=②由①，②两式消去f得3f(x)=-3x，∴f(x)=-x.③又由f(x)=f(-x)，将③代入得-x=+x，即-2x=0，2-x2=0，∴x=±.故应选(B).(4)求函数值例7(1986年北京高一竞赛题)f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，求f[-1].解设,则2t+1=,即2t2+2t=55.∴2t5+2t4-53t3-57t+54=t3(2t2+2t)-53t3-57t+54=2t3+2t2-2t2-57t+54=55t-2t2-57t+54=-2t2-2t+54=-1.∴f()=(-1)1986=1.2.正比便函数、反比便函数及一次函数例8(1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.解设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，则y=y1+=k1x+.将x=2，x=3代入y=y1+得∴y=5x+例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0)有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.证明若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为y=a(x-)，故∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.∵x1y2-x2y1是有理数.∴y2-y1=0，即y1=y2，∴x1y1-x2y1=0.即(x1-x2)y1=0.若y1=0，则x1=，但这与假设矛盾，故不可能.∴y1≠0，从而x1=x2也不可能.∴y=ax+b不能有两组以上的有理数的对应值.3.二次函数关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.例10(1987年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中a，b，c是三角形的三边，且b≥a,b≥c.已知x=-这个二次函数有最小值为-，求△ABC三内角A、B、C的度数.解散由题设，二次函数图象的顶点坐标是(-，-)，即().于是①②由①得a+b=2c，代入②得(b-c)+(b-a)=0.∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0,即a=b=c.△ABC为正三角形,A=B=C=60°.例11(1989年全国初中数学竞赛题)如图31-1,△ABC中,D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,证明:证明由已知可得DE∥AC，进而△EBD∽△ABC∽△DAC.①∴②③∴于是有在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的.4.其它下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题.例12(1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为a的正三角形中,设点P、Q、R在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设，△PQR的面积为S.(1)用x、y、z表示S;(2)求S的最大值;(3)求S取最大值时，、、的值.解(1)S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ).∵S△ABC=a2，S△AQR=z(a-y)sin60°=z(a-y).同样S△BRP=x·(a-z),S△CPQ=y(a-x).∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)]=a2-a(x+y+z)+(yz+yx+xy)=a2-a2+(yz+yx+xy)=(yz+yx+xy).①(2)将z=a-x-y代入①消去z得S=[(a-x-y)(x+y)+xy]=-[x2+(y-a)y+y2-ay],∴S=-)≤当x+时，上式取等号，即x=y=z=时，Smax=a2，(3)根据(2)，当S取最大值时，x=y=z=.在△CPQ内，CQ=，CP=.由余弦定理得最后，我们把视线转向分段函数的极值问题.例13(1968～1969年波兰竞赛题)已知两两互异的实数a1，a2，…，an.求由式子(x为实数)y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定义的函数的最小值.解我们首先研究一个简单的事实：设aB，则pu=|x-a|+|x-b|=u在a≤x≤b上每一点达到最小值:-a+b.①下面我们来研究原命题:对a1,a2,…，an重新按从小到大排序为a1′,a2′,…an′.于是，当n为偶数，即n=2m时，将原函数重新记为y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|+…+|x-am′|+|x-a′m+1).令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i.又∵每一个区间都包含着下一个区间，即[a1,an][a2,an-1]…[am，am-1](“”读作包含，如AB，读作A包含B)，因此它们的公共区间为[am，am+1].由于在区间[am，am+1]每点上所有yi都取常数最小值，为了方便令x=am或x=am+1于是y最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1=-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an.当n为奇数时，将原函数记为y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|)+…+(|x-am′|+|x-a′m+2|)+|x-a′m+1|.类似上面的讨论，当x=am+1时，y最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.练习三十一1.选择题(1)(1989年全国初中数学竞赛题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子的个数为().(A)2个(B)3个(C)4个(D)4个以上(2)曲线|y|=x2-1的图象(实线部分)大致形状是().(3)(1984年全国竞赛题)若则下列等式正确的是().(A)F(-2-x)=-1-F(x)(B)(C)F(x-1)=F(x)(D)F(F(x))=-x2.填空题(1)x，y为实数，.则x+xy+x2y的值是_________.(2)(据1990年全国初中竞赛题改)方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是实数)有两个实根α、β,且0α1,1β2,那么k的取值范围是______.3.已知f(a+b)=f(a)+f(b),且f(1)=1.求的值.4.已知函数y=|x-1|+|x-3|+.试求使y值恒等于常数的x值范围.5.(1983年全国竞赛题)已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(x)≤-1,-1≤f(2)≤5.求f(3)的范围.6.已知0≤x≤1,0≤y≤1,y-x≥,且x+y+z=1,求函数W=2x+5y+4z的最大、最小值.7.(1987年浙江初中竞赛题)二次函数f(x)=ax2+bx+c其中a≠0,且a、b、c为实数.对某一常数t，如有af(t)0,试证:f(x)有不同的两个实数根，其中一个实根比t小，另一实根比t大.8.(浙江初中竞赛题)函数f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(4-x).若方程f(x)=0恰有三个不同的实根，求这些实根的和是多少?9.(1985年江苏东台初中数学竞赛题)若z2-2mz+m+6=0的二实数根为a、b，试求(a-1)2+(b-1)2的最小值.10.(1983年重庆初中数学竞赛题)等边△ABC的边长为a有三个动点P、Q、R分别同时从A、B、C出发沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度作匀速直线运动.已知P点由A到B需1秒，Q点从B到C需2秒，R点由C到A需3秒，在一秒钟内，问开始运动多少时间△PQR的面积最小?最小面积是多少?)11.(1985年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形ABCD边长依次为2、2、3、1.问在四边形ABCD变形为各种凸四边形的过程中,BD的长的变化范围是什么?B到DC距离的变化范围又是什么?练习三十一1.A.D.A.2.3.4.当5.①②(1)+(2)得③(2)+(3)得-16.由z=1-x-y,∴W=4-2x+y.要求W的最大、最小值，只需求y-2x的最大、最小值.设P(x,y)是坐标适合条件的点，则P在以为顶点的内(包括边界).设t=y-2x,则y=2x+t.由t的几何意义W最大值=5W最小值=4.7.先证、∈∈8.四个根之和为16.9.先由10.∈11.如图(a)BD最大时，B、A、D在一直线上，BD=3.