［初中数学竞赛讲座］应用题选讲

竞赛讲座21-应用题选讲应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧.1.合理选择未知元例1(1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，求A、B两地相距多少千米?解法1(选间接元)设坡路长x千米，则下坡需依题意列方程：解之，得x=3.答：A、B两地相距9千米.解法2(选直接元辅以间接元)设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米，则有如下方程组解法3(选间接元)设下坡需x小时，上坡需y小时，依题意列方程组：例2(1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少?解本题若用直接元x列方程十分不易，可引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价(固定不变)的等式，可得：M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)].约去M，得1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)].解之，得x=15.例3在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合?分析选直接元，设两针在3点x分钟时重合，则这时分针旋转了x分格，时针旋转了(x-15)分析，因为分针旋转的速度是每分钟1分格，旋转x分格需要分钟，时针旋转的速度是每分钟分格，旋转(x-15)分格要例4(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克?解采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克，混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依题意，有：2.多元方程和多元方程组例5(1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒?解设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆，可列出下表：则有：解得：x=104，y=56，z=32.答：原来A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.例6(1985年宁波市初中数学竞赛题)某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问B组有几个检验员?解设每个车间原有成品x个，每天每个车间能生产y个成品;则一个车间生产两天的所有成品为(x+2y)个，一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个，由于A组的8个检验员每天的检验速度相等，可得解得：x=4y一个检验员一天的检验速度为：又因为B组所检验的是5个车间，这5个车间生产5天的所有成品为5(x+5y)个，而这5(x+5y)个成立要B组的人检验5天，所以B组的人一天能检验(x+5y)个.因为所有检验员的检验速度都相等，所以，(x+5y)个成品所需的检验员为：(人).答：B组有12个检验员.3.关于不等式及不定方程的整数解例7(1985年武汉市初一数学竞赛题)把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗;如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数.解：设有x只猴子和y颗花生，则：y-3x=8,①5x-y5，②由①得：y=8+3x,③③代入②得5x-(8+3x)5,∴x6.5因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.例8(1986年上海初中数学竞赛题)在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭的环数是不超过10的自然数)，则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少?解设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设x≤y≤z，a≤b≤c，由题意，有：因为环数为不超过10的自然数，首先有z≠10，否则与①式矛盾.若设z=9,则由①知：xy=4,∴x=2,y=2,或x=1,y=4,∴x+y+z=13或x+y+z=14.又由②及cp∴a=2，b=3，或a=1，b=6∴a+b+c=11或a+b+c=13又由③知：x+y+z=a+b+c=13∴取x=2，y=2，z=9.答：小王的环数分别为2环，2环，9环.例9(1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题)一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?解设起初有汽车k辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为n名，显然，k≥2，n≤32，由题意，知：22k+1=n(k-1)，∴k-1=1，或k-1=23,即k=2，或k=24.当k=2时，n=45不合题意，当k=24时,n=23合题意，这时旅客人数为n(k-1)=529.答：起初有24辆汽车，有529名旅客4.应用题中的推理问题竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维.例10(1986年加拿大数学竞赛题)有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数且p1p2p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，求M的值，并问在跳高中谁取得第二名?分析考虑三个得的总分，有方程：M(p1+p2+p3)=22+9+9=40,①又p1+p2+p3≥1+2+3=6，②∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，从而M≤6.由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而M≥2，又M|40，所以M可取2、4、5.考虑M=2，则只有跳高和百米，而B百米第一，但总分仅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，这样A不可能得22分.若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四项最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.∵4(p1+p2+p3)=40,∴p2+p3=4.故有：p2=3,p3=1,A最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=2122，矛盾.若M=5，这时由5(p1+p2+p3)=40，得：p1+p2+p3=8.若p3≥2，则：p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1≥5.若p1≥6，则p2+p3≤2，这也与题设矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.A=22=4×5+2.故A得了四个第一，一个第二;B=9=5+4×1，故B得了一个第一，四个第三;C=9=4×2+1，故C得了四个第二，一个第三.练习五1.选择题(1)打开A、B、C每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门都打开时，注满水槽需1小时;只打开A、C两个阀门，需要1.5小时;如果只打开B、C两个阀门，需要2小时，若只打开A、B两个阀门时，注满水槽所需的小时数是().(A)1.1(B)1.15(C)1.2(D)1.25(E)1.75(2)两个孩子在圆形跑道上从同一点A出发，按相反方向运动，他们的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他们同时出发并当他们在A点第一次再相遇的时候结束，那么他们从出发到结束之间相遇的次数是().(A)13(B)25(C)44(D)无穷多(E)这些都不是(3)某超级市场有128箱苹果，每箱至少120只，至多144只，装苹果只数相同的箱子称为一组，问其中最大一组的箱子的个数n，最小是()(A)4(B)5(C)6(D)24(E)25(4)两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是p:1，而在另一个瓶子中是q:1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是().(5)汽车A和B行驶同样的距离，汽车A以每小时u千米行驶距离的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车B以每小时u千米行驶所行时间的一半并以每小时υ千米行驶另一半，汽车A的平均速度是每小时x千米，汽车B的平均速度是每小时y千米，那么我们总有()(A)x≤y(B)x≥y(C)x=y(D)xy2.填空题(1)已知闹钟每小时慢4分钟，且在3点半时对准，现在正确时间是12点，则过正确时间______分钟，闹钟才指到12点上.(2)若b个人c天砌f块砖，则c个人用相同的速度砌b块砖需要的天数是____.(3)某人上下班可乘火车或汽车，若他早晨上班乘火车则下午回家乘汽车;又假若他下午回家乘火车则早晨上班乘汽车，在x天中这个人乘火车9次，早晨乘汽车8次，下午乘汽车15次，则x=_______.(4)一个年龄在13至19岁之间的孩子把他自己的年龄写在他父亲年龄的后面，从这个新的四位数中减去他们年龄差的绝对值得到4289，他们年龄的和为______.(5)一个城镇的人口增加了1200人，然后这新的人口又减少了11%，现在镇上的人数比增加1200人以前还少32人，则原有人口为_____人.3.(1982-1983年福建省初中数学竞赛题)一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其余各位数字，第三位数字等于首末两位数字之和的二倍，求此四位数.4.(第2届《祖冲之杯》)甲乙两人合养了几头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该分给乙多少钱?5.(1986年湖北省荆州地区初中数学竞赛题)完成同一工作，A独做所需时间为B与C共同工作所需时间的m倍，B独做所需时间为A与C共同工作所需时间的n倍，C独做所需时间为A与B共同工作所需时间的x倍，用m，n表示出x来.6.(1988年江苏省初中数学竞赛题)今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一个最大数和一个最小数(例如，427，经重新排列得最大数742，最小数247)，如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数.7.(1978年四川省数学竞赛题)某煤矿某一年产煤总量中，除每年以一定数量的煤作为民用、出口等非工业用途外，其余留作工业用煤，按照该年度某一工业城市的工业用煤总量为标准计算，可供这样的三个工业城市用六年，四个这样的城市用五年(当然每年都要除去非工业用煤的那一个定量)，问如果只供一个城市的工业用煤，可以用多少年?练习五1.A.C.E.A.2.①②③16④59岁⑤10003.设从首位起，各位数字顺次为a，b，c，d，则aB，AC，AD，且CD，Dp4.略.5.设A、B、C单独完成同一工作所需时间分别为a、b、c，则单位时间他们可分别完成全部工作的、、，依题意有：由上面三式，可得：6.设三位数为，重排后最大数为则