［初中数学竞赛讲座］“设而不求”的未知数

竞赛讲座(35)-“设而不求”的未知数所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.例1若==求c十y十z的值。分析已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比.解令===k则：x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a).所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0.说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数.例2甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间?分析要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V作参数.解设乙跑完一圈需x秒，乙跑步的速度是V米/秒，根据题意，则一圈的总路程可以用vx表示，甲的速度可用表示.∴(*15)+15V=Vx.∵V≠0，∴(*15)+15V=x.∴x=24.答：乙跑完一圈需要24秒。说明这里V是设而不求的未知数.例3有一片牧场，草每天都在匀速生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛，则6天吃完牧草;如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草.解设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.根据题意，得②-①，得y=12x④③-②，得(z-8)y=8x(2z-21).⑤由④、⑤，得z=18。答：如果放牧16头牛，则18天可以吃完牧草.说明列含参数的方程解应用题，一般情况下应用题的答案与参数的值无关，我们可以把参数消去，从而得到应用题的答案.