高中数学竞赛辅导3 函数

智浪教育-普惠英才第三章函数一、基础知识定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射．定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x，y∈A，xy，都有f(x)f(y)则称之为单射．定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射．定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B．定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数．A称为它的定义域，若x∈A，y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象．集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0，x∈R}.定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x，y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y=x11的反函数是y=1-x1(x0).定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称．定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数．定义7函数的性质．（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1，x2∈I并且x1x2，总有f(x1)f(x2)(f(x-)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间．（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期．定义8如果实数ab，则数集{x|axb，x∈R}叫做开区间，记作（a，b），集合{x|a≤x≤b，x∈R}记作闭区间[a，b]，集合{x|ax≤b}记作半开半闭区间（a，b]，集合{x|a≤xb}记作半闭半开区间[a，b)，集合{x|xa}记作开区间（a，+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞，a].定义9函数的图象，点集{(x，y)|y=f(x)，x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域．通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a，b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称．定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”．例如y=x21，u=2-x在（-∞，2）上是减函数，y=u1在（0，+∞）上是减函数，所以y=x21在（-∞，2）上是增函数．注：复合函数单调性的判断方法为同增异减．这里不做严格论证，求导之后是显然的．二、方法与例题1．数形结合法．智浪教育-普惠英才例1求方程|x-1|=x1的正根的个数.【解】分别画出y=|x-1|和y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根．例2求函数f(x)=113632424xxxxx的最大值．【解】f(x)=222222)0()1()3()2(xxxx，记点P(x，x-2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差．因为|PA|-|PA|≤|AB|=10)12(322，当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立．所以f(x)max=.102.函数性质的应用．例3设x，y∈R，且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(32yyxx，求x+y.【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增．事实上，若ab，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)递增．由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围．【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)．又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1．例5设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k-1，2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式．【解】设x∈Ik，则2k-1x≤2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因为f(x)是以2为周期的函数，所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6解方程：(3x-1)(15692xx)+(2x-3)(131242xx+1)=0.【解】令m=3x-1，n=2x-3，方程化为m(42m+1)+n(42n+1)=0.①若m=0，则由①得n=0，但m，n不同时为0，所以m0，n0.ⅰ)若m0，则由①得n0，设f(t)=t(42t+1)，则f(t)在（0，+∞）上是增函数．又f(m)=f(-n)，xyx11x智浪教育-普惠英才所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=.54ⅱ)若m0，且n0．同理有m+n=0，x=54，但与m0矛盾．综上，方程有唯一实数解x=.543.配方法．例7求函数y=x+12x的值域．【解】y=x+12x=21[2x+1+212x+1]-1=21(12x+1)-1≥21-1=-21.当x=-21时，y取最小值-21，所以函数值域是[-21，+∞）．4．换元法．例8求函数y=(x1+x1+2)(21x+1)，x∈[0，1]的值域．【解】令x1+x1=u，因为x∈[0，1]，所以2≤u2=2+221x≤4，所以2≤u≤2，所以222≤22u≤2，1≤22u≤2，所以y=22u，u2∈[2+2，8]．所以该函数值域为[2+2，8]．5．判别式法．例9求函数y=434322xxxx的值域．【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①当y1时，①式是关于x的方程有实根．所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得71≤y≤1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为[71，7]．6．关于反函数．例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数．若f(x)在(-∞，+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞，+∞)上也是增函数．【证明】设x1x2，且y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)，则x1=f(y1)，x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞，+∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1y2．即y=f-1(x)在(-∞，+∞)递增．例11设函数f(x)=42314xx，解方程：f(x)=f-1(x).【解】首先f(x)定义域为（-∞，-32）∪[-41，+∞）；其次，设x1，x2是定义域内变量，且x1x2-32;231422xx231411xx=)23)(23()(51212xxxx0，所以f(x)在（-∞，-32）上递增，同理f(x)在[-41，+∞）上递增．智浪教育-普惠英才在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0，所以x，y∈[-41，+∞）.若xy，设xy，则f(x)=yf(y)=x，矛盾．同理若xy也可得出矛盾．所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0，即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0，因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.