2012年全国高中数学联赛模拟试题一

智浪教育-普惠英才2012年全国高中数学联赛模拟试题一一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数)(xf的定义域为R，且对任意实数)2,2(x，xxf2sin)(tan，则)sin2(xf的最大值为（）A0B21C22D12、实数列}{na定义为,7,1,,3,2,1291112aanaaaaannnnn则5a的值为（）A3B-4C3或-4D83、正四面体ABCD的棱长为1，E是△ABC内一点，点E到边AB,BC,CA的距离之和为x，点E到平面DAB,DBC,DCA的距离之和为y，则22yx等于（）A1B26C35D1274．已知集合{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}MxxxxxNxxxxx．RRMN（）.(A)(2,3)(B)(3,4)(C)(4,5)(D)(5,6)5．已知(33)nzi,若z为实数，则最小的正整数n的值为（）.(A)3(B)4(C)5(D)66．已知p：,,,abcd成等比数列，q:adbc，则p是q的（）.(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数zyx,,满足,146,74,72222xzzyyx则222zyx＝.8、设S是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n满足：SSnSn,，则称n是子集S的模范数，这里|S|表示集合S中元素的个数。对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S，模范数的个数之和为.9、对于121x，当25)21)(1()1(xxx取得最大值时，x＝.10．已知()cos2|cos|fxxpxp，xR．记()fx的最大值为()hp，则()hp的表达式为.11．已知sin(sin)cos(cos)xxxx，0,,x则x.12．设,AB为抛物线22(0)ypxp上相异两点，则22OAOBAB的最小值为___________________．智浪教育-普惠英才三、解答题：每小题20分，满分60分13、如图，已知三角形ABC的内心为I，AC≠BC，内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，EFCIS，连结CD与内切圆的另一个交点为M，过M的切线交AB的延长线于点G.求证：（1）CDI∽DSI；（2）CIGS智浪教育-普惠英才14、设cba,,是正整数，关于x的一元二次方程02cbxax的两实数根的绝对值均小于31，求cba的最小值.智浪教育-普惠英才15.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p（01p），乙获胜的概率为1qp．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，求的期望E的变化范围．