2012高中数学必做100题--数学6

智浪教育-普惠英才高中数学必做100题—选修1-1时量：120分钟班级：姓名：计分：（说明：《选修1-1》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-1》精选）1.已知4:223xp,22:210(0)qxxmm,若qp是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.（☆P69）2.点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4lx的距离的比是常数45，求M的轨迹.（◎P41例6）高中数学必做100题◆选修1-1在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔383.双曲线的离心率等于52，且与椭圆22194xy有公共焦点，求此双曲线的方程.（◎P684）4.倾斜角4的直线l过抛物线24yx焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长.（◎P61例4）智浪教育-普惠英才5.当从0到180变化时，方程22cos1xy表示的曲线的形状怎样变换？（◎P685）6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？高中数学必做100题◆选修1-1在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔407.已知椭圆C的焦点分别为F1（22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求：（1）线段AB的中点坐标；（2）弦AB的长.8.在抛物线24yx上求一点P，使得点P到直线:40lxy的距离最短,并求最短距离.智浪教育-普惠英才9.点M是椭圆2216436xy上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60º，求△F1MF2的面积.10.（06年江苏卷）已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0）.（☆P21例4）（1）求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、1F、2F关于直线y＝x的对称点分别为P、'1F、'2F，求以'1F、'2F为焦点且过点P的双曲线的标准方程。F1MOF2高中数学必做100题◆选修1-1在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔4211.已知函数()xfxxe（e为自然对数的底）.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程.12.设函数321()233fxxxx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极大值和极小值.智浪教育-普惠英才13.（06年福建卷）已知函数26()axfxxb的图象在点(1,(1))Mf处的切线方程为250xy.（1）求函数()yfx的解析式；（2）求函数()yfx的单调区间.（☆P508）14.已知a为实数，2()(4)()fxxxa.（1）求导数'()fx；（2）若'(1)0f，求()fx在2,2上的最大值和最小值；（3）若()fx在(,2)和2,上都是增函数，求a的取值范围.（☆P45例3）高中数学必做100题◆选修1-1在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔4415.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?（☆P47例1）16.（2006年江西卷）已知函数()fx32xaxbxc在23x与1x时都取得极值，（☆P49例2）（1）求a、b的值与函数()fx的单调区间；（2）若对1,2x时，不等式2()fxc恒成立，求c的范围.智浪教育-普惠英才高中数学必做100题—选修1-1班级：姓名：（说明：《选修1-1》部分共精选12题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.选修1-1》精选）1.已知4:223xp,22:210(0)qxxmm,若qp是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.（☆P69）解：∵﹁p是﹁q必要不充分条件，∴qp，即pq.……（3分）解4:223xp得210x，即：:210px.……（6分）解22:210qxxm变形为[(1)][(1)]0xmxm，解得11mxm，即:11qmxm.……（9分）由pq，则12110mm，解得9m.所以实数m的取值范围9m。……（12分）2.点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4lx的距离的比是常数45，求M的轨迹.（◎P41例6）解：设d是点M到直线25:4lx的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合45MFPMd，……（4分）由此得22(4)42554xyx。将上式两边平方，并化简，得22925225xy。即221259xy。……（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。.……（12分）3.双曲线的离心率等于52，且与椭圆22194xy有公共焦点，求此双曲线的方程.（◎P684）解：椭圆22194xy焦点为(5,0)F，根据题意得双曲线的焦点为(5,0)F，……（3分）设双曲线的标准方程为22221xyab，且有5c。……（6分）又由52cea，得2a，得222541bca，……（10分）所求双曲线的方程为2214xy。……（2分）4.倾斜角为4的直线l经过抛物线24yx的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.（◎P61例4）解：设1122(,),(,)AxyBxy，,AB到准线的距离分别为,ABdd，由抛物线的定义可知121,1ABAFdxBFdx，于是122ABAFBFxx。……（3分）由已知得抛物线的焦点为(1,0)F，斜率tan14k，所以直线AB方程为1yx。……（6分）高中数学必做100题◆选修1-1在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔46将1yx代入方程24yx，得2(1)4xx，化简得2610xx。由求根公式得12322,322xx，……（9分）于是1228ABxx。所以，线段AB的长是8。……（12分）5.当从0到180变化时，方程22cos1xy表示的曲线的形状怎样变换？解：当0时，cos01，方程221xy表示圆心在原点的单位圆。……（3分）当900时，1cos0，方程22cos1xy表示圆心在原点的单位圆。……（5分）当90时，cos900，方程21x，得1x表示与y轴平行的两条直线。……（7分）当18090时，cos0，方程22cos1xy表示焦点在x轴上的双曲线。……（9分）当180时，cos1801，方程221xy表示焦点在x轴上的等轴双曲线。……（12分）6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？解：（1）设抛物线方程22xpy.……（2分）由题意可知，抛物线过点(26,6.5)，代入抛物线方程，得22613p，解得52p，所以抛物线方程为2104xy.……（6分）（2）把2x代入，求得126y.……（9分）而16.560.526，所以木排能安全通过此桥.……（12分）7.已知椭圆C的焦点分别为F1（22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求：（1）线段AB的中点坐标；（2）弦AB的长.解：设椭圆C的方程为22221xyab，由题意a=3，c=22，于是b=22ac=1.……（3分）∴椭圆C的方程为29x＋y2＝1．……（5分）联立方程组22219yxxy，消y得10x2＋36x＋27＝0，因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝185，故线段AB的中点坐标为（91,55）．……（12分）8.在抛物线24yx上求一点P，使得点P到直线:40lxy的距离最短,并求最短距离.解：设与直线:40lxy平行，且与抛物线24yx相切的直线为0xyk.……（3分）由204xykyx，消x得2440yyk.……（5分）∴24160k，解得1k，即切线为10xy.……（7分）智浪教育-普惠英才由2104xyyx，解得点(1,2)P.……（9分）∴最短距离22|41|32211d.……（12分）9.点M是椭圆2216436xy上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60º，求△F1MF2的面积.解：由2216436xy，得a=8，b=6，2227cab.……（3分）根据椭圆定义，有12||||216MFMFa.……（5分）在△F1MF2中，由余弦定理，得到22212121212||||||2||||cosFFMFMFMFMFFMF.即2221212(47)||||2||||cos60MFMFMFMF，……（7分）22221212121212112||||||||(||||)3||||163||||MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF，解得12||||48MFMF.……（10分）△F1MF2的面积为：121211||||sin48sin6012322SMFMFFMF.……（12分）10.（06年江苏卷）已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0）.（☆P21例4）（1）求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、1F、2F关于直线y＝x的对称点分别为P、'1F、'2F，求以'1F、'2F为焦点且过点P的双曲线的标准方程。解：（1）设所求椭圆方程为22221xyab(ab0),其半焦距c=6，……（2分）22221221121265aPFPF……（4分）∴35a,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为221459xy．……（6分）（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).……（8分）设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)yxabab，由题意知，半焦距c1=6，222211221121245aPFPF，125a,b12=c12-a12=36-20=16.所以，所求双曲线的标准方程为2212016yx．……（12分）11.已知函数()xfxxe（e为自然对数的底）.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程.解：()()(1)xxfxxefxex，因此有……（3分）F1MOF2高中数学必做100题◆选修1-1在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。—康扥尔48（1）令()01fxx，即函数()fx的单调递增区间是(1,)；……（6分）（2）因为(1)fe，(1)2fe，……（9分）所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为2(1)yeex，即20exye.……（12分）12.设函数321()233fxxxx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x