2013高考数学精讲精练---平面向量与复数

智浪教育-普惠英才2013高中数学精讲精练平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课向量的概念及基本运算向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积两个向量平行的充要条件件件两个向量垂直的充要条件件件数系的扩充与复数的引入复数的概念复数的运算数系的扩充智浪教育-普惠英才OAPQBab第4题【考点导读】1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3.了解平面向量基本定理及其意义.【基础练习】1.出下列命题：①若ab，则ab；②若A、B、C、D是不共线的四点，则DCAB是四边形为平行四边形的充要条件；③若,abbc，则ac；④ab的充要条件是ab且//ab；⑤若//ab，//bc，则//ac。其中，正确命题材的序号是②③2.化简ACBDCDAB得03.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OA＝a，OB＝b，则OP＝2133ab，OQ＝1233ab(用a、b表示)【范例导析】例1.已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：2ABDCEF.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB和EC，由EAABEB和EFFBEB可得，EAABEFFB（1）由EDDCEC和EFFCEC可得，EDDCEFFC（2）（1）+（2）得，2EAEDABDCEFFBFC（3）∵E、F分别为AD和BC的中点，∴0EAED，0FBFC，代入（3）式得，2ABDCEF点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例2.已知,OAOB不共线，OPaOAbOB,求证：A,P,B三点共线的充要条件是1ab分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.DCEFAB例1智浪教育-普惠英才解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得APAB,即OPOAOBOA,∴1,OPOAOB∵OPaOAbOB,∴1,ab，∴1.ab再证充分性：若1.ab则APOPOA=1aOAbOBbOBOA=bAB,∴AP与AB共线，∴A,P,B三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.【反馈练习】1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）A.|a|－|b|=|a－b|B.|a|－|b|=|a+b|C.|a|＋|b|=|a－b|D.|a|＋|b|=|a+b|2.设四边形ABCD中，有1,2DCABADBC则这个四边形是（C）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①ABBCCD，②DBACBD，③OAOCOBCO。解析：①原式=()ABBCCDACCDAD；②原式=()0DBBDACACAC；③原式=()()()0OBOAOCCOABOCCOABAB。4.设x为未知向量，a、b为已知向量，x满足方程2x(5a+3x4b)+21a3b=0，则x=92ab（用a、b表示）5.在四面体O-ABC中，OA,OB,OC,Dabc为BC的中点，E为AD的中点，则OE=111244abc（用a，b，c表示）6如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设OA,OB,,OM,ON,MNabab试用表示解：11111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB=36666ab15OM=OB+BM66ab.ODCDONCDCN3234,31222ON=OD=OA+OB333ab11MN=ON-OM26ab第2课向量的数量积【考点导读】1.理解平面向量数量积的含义及几何意义.第6题智浪教育-普惠英才2.掌握平面向量数量积的性质及运算律.3.掌握平面向量数量积的坐标表达式.4.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.已知,ab均为单位向量，它们的夹角为060，那么3ab132.在直角坐标系xOy中，,ij分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2ABij，3ACikj，则k的可能值个数为2个3.若1a,2b，a与b的夹角为060，若(3+5)ab()mab，则m的值为2384.若||1,||2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为120°【范例导析】例1.已知两单位向量a与b的夹角为0120，若2,3cabdba，试求c与d的夹角的余弦值。分析:利用22aa及cosabab求解.解：由题意，1ab，且a与b的夹角为0120，所以，1cos1202abab，22222447cccababaabb7c，同理可得2413dbac而cd2217(2)(3)7322abbaabba，设为c与d的夹角，则171791cos1822713点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例2.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：()ab⊥c；（2）若||1kabc)(Rk，求k的取值范围.分析:问题（1）通过证明()0abc证明()abc,问题（2）可以利用22||kabckabc解：（1）∵||||||1abc，且a、b、c之间的夹角均为120°，∴00()||||cos120||||cos1200abcacbcacbc∴()0abc（2）∵||1kabc，即2||1kabc也就是22222221kabckabkacbc∵12abbcac，∴022kk所以0k或2k．智浪教育-普惠英才解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.例3.如图，在直角△ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得()()BPCQAPABAQAC,再结合直角三角形和各线段长度特征法解决问题解：,0.ABACABAC,,,()()APAQBPAPABCQAQACBPCQAPABAQAC222222()1212cos.APAQAPACABAQABACaAPACABAPaAPABACaPQBCaPQBCaa2cos0,(),..2PQBCBPCQa故当即与方向相同时最大其最大值为点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.【反馈练习】1.已知向量a,b满足14,2a=,bab且,则a与b的夹角为32.如图，在四边形ABCD中，||||||4,ABBDDC0,ABBDBDDC4||||||||DCBDBDAB，则ACDCAB)(的值为43.若向量a,b满足=1a=b,a,b的夹角为60°，则aa+ab=324.若向量12,2a=,bab且-,则ab+65.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=21,求：①a·b；②(2a－b)·(a+3b)解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴222102ababab（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.例3DCBA第2题智浪教育-普惠英才6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0∴7a2＋16a·b－15b2=0，7a2－30a·b＋8b2=0，∴b2=2a·b，|a|=|b|∴1cos2abab∴60第3课向量的坐标运算【考点导读】1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.【基础练习】1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若OA=)8,2(，OB=)2,7(，则31AB=(3,2)2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆平面向量,ab中，若(4,3)a，b=1，且5ab，则向量b=43(,)553.已知向量(,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk，且A、B、C三点共线，则k=234.已知平面向量(3,1)a，(,3)bx，且ab，则x1【范例导析】例1.平面内给定三个向量3,2,1,2,4,1abc，回答下列问题：（1）求满足ambnc的实数m,n；（2）若//2akcba，求实数k；（3）若d满足//dcab，且5dc，求d分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.解：（1）由题意得1,42,12,3nm所以2234nmnm，得9