高中物理竞赛系列讲座--- 磁场对运动电荷的作用

智浪教育-普惠英才对运动电荷的作用3．4．1、洛伦兹力载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。根据安培定律sinLIBF，而电流强度与运动电荷有关系qnvsI，角既是电流元LI与B的夹角，也可视为带电粒子的速度v与B之间的夹角，L长导线中有粒子数LSnN，则每个电子受到的力即洛伦兹力为sinsinqvBLSnLqnvSBNFf洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。洛伦兹力的方向从图3-4-1可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动(v)方向垂直，即与v、B所在的平面垂直，具体方向可用左手定则判定。但应注意，这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效。3．4．2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下：如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止。如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁OxyzvfqBv图3-4-1智浪教育-普惠英才力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度v作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。(1)向心力公式：RvmqvB2(2)轨道半径公式：BqmvR(3)周期、频率和角频率公式，即：BqmvRT22，mBqTf21，mBqfT22(4)动能公式：mBqRmpmvEk2)(221222如图3-4-2所示，在洛伦兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动，从A点到B点，均具有下述特点：(1)轨道圆心(O)总是位于A、B两点洛伦兹力(f)的交点上或AB弦的中垂线OO与任一个f的交点上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角a，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的两倍，即ta2。磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的，但任何一个带电粒子运动的速度(v)都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场方向进行分解，得到v和//v两个分速度。根据运动的独立性可知，这样的带电粒子一方面以//v在磁场方向上作匀ABOffAA图3-4-2v⊥v∥vfBr图3-4-3智浪教育-普惠英才速运动，一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为v的匀速圆周运动。实际上粒子作螺旋线运动(如图3-4-3)，这种螺旋线运动的周期和螺距大小读者自己分析并不难解决。其螺旋运动的周期qBmT/2，其运动规律：螺旋运动回旋半径：qBmvrsin螺旋运动螺距：qBmvTvh/cos2//3．4．3、霍尔效应将一载流导体放在磁场中，由于洛伦兹力的作用，会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏转，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。如图3-4-4所示，电流I在导体中流动，设导体横截面高h、宽为d匀强磁场方向垂直与导线前、后两表面向外，磁感强度为B，导体内自由电子密度为n，定向移动速度vdnevhI由于洛伦兹力作用，自由电子向上表面聚集，下表面留下正离子，结果上下表面间形成电场，存在电势差U，这个电场对电子的作用力方向向下，大小为hUeeEF当F与洛伦磁力f相平衡时，上、下表面电荷达到稳定，则有evBhUenedIBUhdEI图3-4-4智浪教育-普惠英才如果导电的载流子是正电荷，则上表面聚集正电荷，下表面为负电势，电势差正、负也正好相反。下面来分析霍尔电势差，求出霍尔系数。在图3-4-5中，设大块导体的长和宽分别为L和d，单位体积自由电荷密度为n，电荷定向移动速率为v，则电流nqLdvI。假定形成电流的电荷是正电荷，其定向移动方向就是电流方向。根据左手定则，正电荷向上积聚，下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚，上正下负电压为aUa，正电荷受到跟磁场力反向的电场力LaUaqqEF的作用。电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用，当最后达到平衡时qBvLaUaq，可得nqdBInqLdIBLBLvaUa1。可见，理论推导的结果跟实验结果完全一致，系数nqk1。既然k跟n有关，n表征电荷浓度，那么通过实验测定k值可以确定导体或半导体的电荷浓度n，半导体的n值比金属导体小得多，所以k值也大得多。此外根据左手定则还可知，即使电流I就是图3-4-6中的流向，如果参与流动的是正电荷，那么电压就是上正下负；如果参与定向移动的是自由电子，那么电压就是上负下正了。霍尔电势的高低跟半导体是p型的还是n型的有如此的关系：上正下负的是p型半导体，定向载流子是带正电的空穴：上负下正的是n型半导体，如果k值小得多就是金属导体，定向载流子是自由电子。3．4．4、磁聚焦BLIaad图3-4-5智浪教育-普惠英才运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于“磁聚焦技术”。如图3-4-7，电子束经过a、b板上恒定电场加速后，进入c、d极板之间电场，c、d板上加交变电压，所以飞出c、d板后粒子速度v方向不同，从A孔穿入螺线管磁场中，由于v大小差不多，且v与B夹角很小，则vvvcos//vvvsin由于速度分量v不同，在磁场中它们将沿不同半径的螺旋线运动。但由于它们速度//v分量近似相等，经过qBmvqBmvh22//后又相聚于A点，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似，所以叫做磁聚焦现象。磁聚焦原理被广泛地应用于电真空器件如电子显微镜。3．4．5、复合场中离子的运动1．电场和磁场区域独立磁场与电场不同，磁场中，洛伦磁力对运动电荷不做功，只改变带电粒子速度方向，所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要表现为：匀速圆周运动、螺旋运动、匀速直线运动。而电场中，电荷受到电场力作用，电场力可能对电荷做功，因而改变速度大小和方向，但电场是保守场，电场力做功与运动路径无关。处理独立的电场和磁场中运动电荷问题，是分开独立处理。abdAAII图3-4-7xyPQ图3-4-8智浪教育-普惠英才例：如图3-3-8所示，在xoy平面内，y＞O区域有匀强电场，方向沿-y方向，大小为E，y＜O区域有匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为B，一带电+q、质量为m的粒子从y轴上一点P由静止释放，要求粒子能经过x轴上Q点，Q坐标为(L，O)，试求粒子最初释放点P的坐标。分析：解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点。从y轴上释放后，只受电场力加速做直线运动，从O点射入磁场，然后做匀速圆周运动，半圈后可能恰好击中Q点，也可能返回电场中，再减速、加速做直线运动，然后又返回磁场中，再经半圆有可能击中Q点，……。那么击中Q点应满足LRn2的条件。2．空间区域同时存在电场和磁场（1）电场和磁场正交如图3-4-9所示，空间存在着正交的电场和磁场区域，电场平行于纸面平面向下，大小为E，磁场垂直于纸面向内，磁感强度为B，一带电粒子以初速0v进入磁场，Ev0，Bv0，设粒子电量+q，则受力：f洛=Bqv0方向向上，F电=qE方向向下。若满足：Bqv0=qE0v=E/B则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动，这是一个速度选择器模型。若粒子进入正交电磁场速度0vv，则可将v分解为10vvv，粒子的运动可看成是0v与1v两个运动的合运动，因而粒子受到的洛伦兹力可看成是Bqv0与Bqv1的合力，而Bqv0与电场力qE平衡，粒子在电场中所受合力为Bqv1，结果EB0E图3-4-9智浪教育-普惠英才粒子的运动是以0v的匀速直线运动和以速度1v所做匀速圆周运动的合运动。例：如图3-4-10正交电磁场中，质量m、带电量+q粒子由一点P静止释放，分析它的运动。分析：粒子初速为零释放，它的运动轨迹是如图3-4-10所示的周期性的曲线。初速为零，亦可看成是向右的0v与向左-0v两个运动的合运动，其中0v大小为：0v=E/B所以+q粒子可看成是向右0v匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。电场方向上向下最大位移Rdm220qBmEqBmvR22qBmEdm一个周期向右移动距离L即PP1之距为TvL0qBmT2代入，得：22qBmEL最低点Q点速度02vvQ（2）电场和磁场平行如图3-4-11所示的空间区域有相互平行的电场和磁场E、B一带电+q粒子P1P2P3PQm图3-4-10EB0图3-4-11智浪教育-普惠英才以初速0v射入场区Ev0(或B)。则带电粒子在磁场力作用下将做圆周运动，电场力作用下向上做加速运动，由于向上运动速度分量1v始终与B平行，故粒子受洛伦磁力大小恒为Bqv0，结果粒子运动是垂直于E(或B)平面的半径R=m0v/qB的匀速圆周运动和沿E方向匀加速直线运动的合运动，即一个螺距逐渐增大的螺旋运动。（3）电场力、洛伦磁力都与0v方向垂直，粒子做匀速圆周运动。例如电子绕原子核做匀速圆周运动，电子质量m，电量为e，现在垂直轨道平面方向加一匀强磁场，磁感强度大小为B，而电子轨道半径不变，已知电场力3倍与洛伦磁力，试确定电子的角速度。在这里电子绕核旋转，电场力、洛伦磁力提供运动所需向心力，即f电+f洛=rmv/2而f洛可能指向圆心，也可能沿半径向外的，因而可能是rmvevBevB/32rmvevBevB/32meB21或meB42典型例题例1．在如图3-4-12所示的直角坐标系中，坐标原点O固定电量为Q的正点电荷，另有指向y轴正方向(竖直向上方向)，磁感应强度大小为B的匀强磁场，因而另一个质量为m、电量力为q的正点电荷微粒恰好能以y轴上的O点为圆心作匀yxzOQOB图3-4-12智浪教育-普惠英才速圆周运动，其轨道平面(水平面)与xoz平面平行，角速度为，试求圆心O的坐标值。分析：带电微粒作匀速圆周运动，可以确定在只有洛伦磁力和库仑力的情况下除非O与O不重合，必须要考虑第三个力即重力。只有这样，才能使三者的合力保证它绕O在水平面内作匀速圆周运动。解：设带电微粒作匀速圆周运动半径为R，圆心的O纵坐标为y，圆周上一点与坐标原点的连线和y轴夹角为，那么有yRtg带电粒子受力如图3-4-13所示，列出动力学方程为mg=F电cosθ(1)f洛-F电Rm2sin(2)f洛=RBq(3)将(2)式变换得f洛-Rm2F电sin(4)将(3)代入(4)，且(1)÷(4)得RyRmRBqmg2消去R得2mBqmgy例2．如图3-4-14所示，被1000V的电势差加速的电子从电子枪发射出来，沿直线a方向运动，要求电子击中在a方向、距离枪口5cm的靶M，对以下两种情形yxzOQOBmg电F洛f图3-4-13aMdT图3-4-14智浪教育-普惠英才求出所用的均匀磁场的磁感应强度B．（1）磁场垂直于由直线a与点M所确定的平面。（2）磁场平行于TM。解：（1）从几何考虑得出电子的圆轨道的半径为(如图3-4-15)adrsin2按能量守恒定律，电荷Q通过电势差U后的速度v为UQmv221即mUQv2作用在电荷Q上的洛伦磁力为QBvF这个力等于向心力QBvrmv2故所需的磁感应强度为rQmvB用上面的半径和速度值，得到QUdaBm2sin2由于kgm311011.9，CQ19106.1，所以B=0.0037T（2）在磁场施加的力与速度垂直，所以均匀恒定磁场只改变电子速度的方向，不改变速度的大小。我们把电子枪发射的电子速度分解成两个直线分量：沿磁场B方向的avcos和垂直磁场的avsin，因为avcos在磁场的方向上，磁场对它没有作用力(图MBa2dT图3-4-15智浪教育-普惠英才3-4-16)。电子经过d/avcos时间后到达目标M。由于磁场B和垂直的速度分量avsin，电子在圆轨道上运动，由aBQvra