高中物理竞赛系列讲座--- 自感磁场的能量

智浪教育-普惠英才自感磁场的能量4．5．1、自感(1)自感电动势、自感系数回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律tn这里磁通是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有tIt//。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势tIL自式中L为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。(2)典型的自感现象及其规律如图4-5-1所示电路由电感线圈L和灯泡A，以及电阻R和灯泡B组成两个支路连接在一个电源两端。A、B灯泡相同，当K闭合瞬时，L—A支路LABRK图4-5-1tOI1I感图4-5-2智浪教育-普惠英才中，由于L的自感现象，阻碍电流增大，所以A不能立即发光，而是逐渐变亮，而B立即正常发光。当稳定后，电流不再变化时，L只在电路中起一个电阻的作用。流过L—A支路的电流1I，此时L中贮存磁场能为2121LIW(在后介绍)当K断开瞬间，L中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L—A—B—R中产生感应电流，从能量观点来看，L释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A、B灯泡应是在K断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。4．5．2、磁场的能量见图4-5-3，当K闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L的线圈中将产生自感电动势ti自阻碍电流的增加，和自合起来产生电流通过电阻RRitiL即tiLRi式中i是变化的，方程两边乘以ti并求和图5-2-1iLitRiti2显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：KRL图4-5-3智浪教育-普惠英才K刚闭合时，i=0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流RI(忽略电源内阻)，iLi这个求和式的求和范围从0到I，令，y=i并以i为横作标，y为纵坐标做一坐标系，则y=i在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标i处取i，i很小，可认为对应的y为常量，窄条面积iiiyS，把从0到I的所有窄条面积加起来iiiy即为y=i与i轴所夹三角形面积，故221Iiiiy代入iLi可知储存线圈内的能量。221LIW从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l，截面积为S，故绕有N匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电流I时，管内磁场的磁感应强度nIB0，通过N匝线圈的磁通量ISlNISlNNNBS200与LI相比较，可得SlNL20将代SlNL20，NBlnBI00代入磁场能量式yiiIO图4-5-4智浪教育-普惠英才vnBNBlSlNnW0220202121单位体积的磁场能量为022nB与电场的能量密度2021E相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我们知道01对应于0n，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场，就有B，就有能量。另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但对所有磁场的均适用。典型例题例1、如图4-5-5所示的电路中，电池的电动势V12，内阻,2,15,9,2;1321HLRRRr开始时电键K与A接通。将K迅速地由A移至与B接通，则线圈L中可产生的最大自感电动势多大？分析：K接在A点时，电路中有恒定电流I，当K接至B瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流I就是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。解：L为纯电路，直流电阻不计，K接在A时，回路稳定时电流I为ArRRI1221当K接到B点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为AI1，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为LBAKR1R2R3r图4-5-5智浪教育-普惠英才)(32RRILV24以后电流变小，自感电动势也减小直至零。例2、由半径11r毫米的导线构成的半径102r厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足610安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。解：线圈中电流)(tI的减小将在线圈内导致自感电动势，故(1)IRtIL式中L是线圈的自感系数IL在计算通过线圈的磁统量时，以导线附近即1r处的B为最大，而该处B又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即1012)(rInrB＜B)(2)(1220221tIrrnrrIL＜12202rrn(2)而21221222rrrrR(3)把式(2)和式(3)代入式(1)，得＜tIIrr4210(4)把3110r米，1210r米，100I安培及智浪教育-普惠英才tI＜146102.336002436510安培/秒代入式(4)得＜26100.1欧姆/米这就是超导线圈电阻率的上限。