高中物理竞赛训练-几何光学

智浪教育—普惠英才文库-1-物理几何光学训练题1.两个焦距分别是1f和2f的薄透镜1L和2L，相距为d，被共轴地安置在光具座上。1.若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2.根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。2．有一放在空气中的玻璃棒，折射率n＝1.5，中心轴线长Ｌ＝45cm，一端是半径为Ｒ1＝10cm的凸球面．1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度φ１时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度φ２，求φ２／φ１（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．3．薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n和2n，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F和2F），但1F、2F和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f和2f。现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图所示。1．试求出此时物距u，像距v，焦距1f、2f四者之间的关系式。智浪教育—普惠英才文库-2-2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为1，则与之相应的出射线与主轴的夹角2多大？3．1f，2f，1n，2n四者之间有何关系？4．如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为0h的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．5.目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．如图，S1、S2、S3是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶LS1S3PS2hhz智浪教育—普惠英才文库-3-角为=arctan41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f=1.50h、半径为r=0.75h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为L=12.0h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．6.封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（Rr）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O2、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．SvRxAOlrO2O1智浪教育—普惠英才文库-4-参考答案一、在图所示的光路图中，入射光AB经透镜1L折射后沿BC射向2L，经2L折射后沿CD出射。AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、P和P，如果P为物点，因由P沿主轴射1O的光线方向不变，由透镜性质可知，P为P经过1L所成的像，P为P经2L所成的像，因而图中所示的1u、1v、2u、2v之间有下列关系：u1v1u2v2dL1L2BPAhDO1O2P′h′αα′βCP″图复解16-2-1d＞f1+f212222111vudf1v1u1f1v1u1321当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得,uvhh1212vuhh从而求得1212vuuv（4）联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去1v、2u、2v，可得)ff(ddfu2111（5）具体运算过程如下；由（1）式可得1fvuv1111（a）由（2）式可得1fuvu2222（b）由（4）式可得1122uvvu（d）由（a）、（b）、（d）式可得11222211vffu,fufv即智浪教育—普惠英才文库-5-以上式代入（3）式可得2111,112ffdfvvff1d即（c）以（c）式代入（1）式得)ff(ddffffdfdffvvfu211212112111111（5）由于d、1f、2f均已给定，所以1u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在1L的左方与1L相距)ff(ddfu2111处。又由于1u与α无关，凡是通过该点射向1L的入射光线都和对应的出射光线相互平行。2．由所得结果（5）式可以看出，当d＞21ff时，1u＞0，此情况下的光路图就是图复解16–2–1所示。当d=21ff时，1u→∞，α=0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16–2–2所示。当d＜21ff时，1u＜0，这表明P点在1L右方，对1L来说，它是虚物。由（1）式可知，此时1v＞0，由1122vffu可知2u＞0，又由1122uvvu＜0可知2u＜0，所以此时的光路图如图复解16–2–3。L1L2hh′f1f2O1O2dP′d=f1+f2L1L2hh′O1O2P′P″dPααd＜f1+f2图复解16-2-2图复解16-2-3评分标准本题25分。第1问17分，其中（1）、（2）、（3）式各2分，（4）式分，（5）式3分，结论4分；第2问8分，其中图复解16–2-1，16–2-3各给3分，图复解16–2-2给2分。二．对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于光轴的光线，智浪教育—普惠英才文库-6-它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图18－2－6所示，图中Ｃ1为左端球面的球心．图18－2－6由正弦定理、折射定律和小角度近似得（－Ｒ１）／Ｒ１＝ｓｉｎｒ１／ｓｉｎ（ｉ１－ｒ１）≈ｒ１／（ｉ１－ｒ１）＝1／（（ｉ１／ｒ１）－1）≈1／（ｎ－1），①即（／Ｒ１）－1＝1／（ｎ－1）．②光线ＰＦ１射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心Ｃ２一定在端面顶点Ｂ的左方，Ｃ２Ｂ等于球面的半径Ｒ２，如图18－2－6所示．仿照上面对左端球面上折射的关系可得（／Ｒ２）－1＝1／（ｎ－1），③又有＝Ｌ－，④由②、③、④式并代入数值可得Ｒ２＝5ｃｍ．则右端为半径等于5ｃｍ的向外凸的球面．图18－2－7．设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过Ｃ１，②过Ａ，如图18－2－7所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点Ｍ，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求Ｍ点的位置，在△ＡＣ１Ｍ中，有／ｓｉｎ（π－φ１）＝／ｓｉｎφ１＝Ｒ１／ｓｉｎ（φ１－φ１′），又ｎｓｉｎφ１′＝ｓｉｎφ１，已知φ１、φ１′均为小角度，则有／φ１＝Ｒ１／φ１（1－（1／ｎ））．智浪教育—普惠英才文库-7-与②式比较可知，≈，即Ｍ位于过Ｆ１垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过Ｍ点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从Ｍ射出Ｃ２的光线将沿原方向射出，这也就是过Ｍ点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向，此方向与主光轴的夹角即为φ２，由图18－2－7可得／φ１＝／＝（－Ｒ１）／（－Ｒ２），由②、③式可得（－Ｒ１）／（－Ｒ２）＝Ｒ１／Ｒ２，则φ２／φ１＝Ｒ１／Ｒ２＝2．三．利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像PQ，如下图所示。（1）用y和y分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得1212uffyyfvf（1）1212()()ufvfff简化后即得物像距公式，即u，v，1f，2f之间的关系式121ffuv（2）（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图中1为入射角，2为与之相应的出射角，为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为n，则由折射定律得QQPPF1F2uvn1n2yyf1f2图复解19-5-1智浪教育—普惠英才文库-8-1122sinsinsinnnn（3）对傍轴光线，1、2≤1，得11sin，22sin，因而得1212nn（4）（3）由物点Q射向中心O的入射线，经L折射后，出射线应射向Q，如图复解19-5-3所示，在傍轴的条件下，有1122tantanyyuv，（5）二式相除并利用（4）式，得12nyuyvn（6）用（1）式的11//()yyfuf代入（6）式，得1112()funufvn即1121nuvfnunv（7）用（1）式的22/()/yyvff代入（6）式，得2122()vfunfvn即2221nuvfnunv（8）n1n212n图复解19-5-2QQPPF1F2L2uvuy1yn1n2图复解19-5-3智浪教育—普惠英才文库-9-从而得1f，2f，1n，2n之间关系式2211fnfn四．图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有sinsinini（1）在OMP中sinsinlxii（2）2222coslRxRxi（3）由式（1）和式（2）得xnl再由式（3）得2222(2cos)xnRxRxi设M点到Ox的距离为h，有sinhRi智浪教育—普惠英才文库-10-22222cossinRiRRiRh得2222222xRxxRhn222221(1)20xxRhRn（4）解式（4）可得22222221nRhnRnhxn（5）为排除上式中应舍弃的解，令0h，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式2(1)111nnnnxRRRnnn或由图可知，应有xR，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x应表示为22222221nRhnRnhxn（6）上式给出x随h变化的关系。因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0hh，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为22222200021nRhnRnhxn（7）在轴上0xx处，无光线通过。随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角Ci时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角Ci相应的光线有CC1sinhRiRn这光线的折射线与轴线的交点处于22C221111nRnRnxnn（8）在轴Ox上CRxx处没有折射光线通过。智浪教育—普惠英才文库-11-由以上分析可知，