【力学解题】三角形在物理解题中的应用

三角形在物理解题中的应用理科综合的考试说明能力要求的其中一项能力就是应用数学知识处理物问题，在中学物理解题中，常常用到三角形的有关知识，如三角函数关系、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。一、矢量三角形的应用例1：如图1所示，小球用细绳系在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将。…………[来源:学科网ZXXK]A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大分析与解：解法1：设细绳向上偏移过程中的某一时刻，细绳与斜面支持力FN的夹角为α，作出力的图示如图2甲，由正弦定理得：[来源:学科网]sin)sin(TG)sin(sinGT讨论：当2时，sinGT当2时，sinGT当2时，sinGT可见，当2时，T最小，即当绳与斜面支持力FN垂直（绳与斜面平行）时，拉力最小，当绳由水平面逐渐向上偏移时，FT先减小后增大，故选项D正确。解法2：因为G、FN、FT三力共点平衡，故三个力可以构成一个矢量三角形，图2乙中G的大小和方向始终不变；FN的方向也不变，大小可变，FT的大小、方向都在变，在绳向上移的过程中，可以作出一系列矢量三角形如图乙所示，显而易见在FT变化到与FN垂直前，FT是逐渐变小的，然后FT又逐渐变大，FT与FN当垂直时，FT有最小值。故选D。同时看出斜面对小球的支持力FN是逐渐变小的。DCBAθ图1FNFNFTGG甲乙FT图2解题小结：本题通过数学方法（正弦定理）和图解法（矢量三角形）求解。当物体在三力作用下平衡（或可以等效成三力平衡），且其中一个力的大小和方向始终不变；另一个力的方向不变，大小可变；第三个力的大小和方向都在变时。这种情况下的动态平衡，应用图解法解，非常方更快捷。例2：如图3所示，质量m的小车，在拉力F的牵引下，沿摩擦系数为μ的水平面运动。求牵引力最小时的牵引角α角是多大？最小牵引力是多少？分析：匀速牵引所需拉力最小。这时，小车在四个力的作用下处于动平衡状态。根据共点力系平衡时，自行构成封闭多边形，可以利用四边形和三角形求出最佳牵引角。解：方法一：在小车受到的四个力中，Mg大小、方向均不变；Ff和FN方向不变，且NfFFtg为常量，即Ff和FN的合力的方向不变；F的大小、方向都变。从矢量四边形可以看出：当α增大时，F先减小后增大；当F垂直于四边形对角线OA——Ff和FN的合力，即时，F最小。方法二、将Ff和FN以其合力R代替，，使四力平衡转化为三力平衡问题。设R与竖直方向夹角为，且NfFFtg。从矢量三角形可以更明显地看出：当α增大时，F先减小后增大；当F垂直于Ff和FN的合力R，即时，F最小。所以，最佳牵引角为[来源:Z&xx&k.Com]1tg且最小牵引力为1minsinsintgMgMgF式中sin还可以根据三角函数关系表示为[来源:Zxxk.Com]2211sintgtg所以：2min1MgF例3：河水流速smv51，船在静水中的航速smv42，河宽md10，则船渡河的最小航程多大？RFNψFFfαMg图3FfψψRMgFNFFαMgα甲乙图4分析与解：由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图5所示，设船从A点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只要船的合速度v的方向与AB间的夹角最小。由于2v的大小恒定，所以当v与圆周相切，即2v⊥v时航程最短，由相以三角形关系知最短航程S为mvvdS5.1212。解题小结：处理矢量（力、速度、场强等）的合成、分解问题时，先画出矢量三角形图示可将问题直观形象地展现出来，便于分析研究。二、相似三角形的应用例4：如图6所示，有两个带有等量的同种电荷的小球A和B，质量都是m，分别悬于长为L的悬线的一端。今使B球固定不动，并使OB在竖直立向上，A可以在竖直平面内自由摆动，由于静电斥力的作用，A球偏离B球的距离为x。如果其它条件不变，A球的质量要增大到原来的几倍，才会使AB两球的距离缩短为2x。分析与解：A球受三个力作用：mg、FT、F电且三力平衡，如图7所示。由相信似三角形的知识可知：当AB距离为X时，xLFmg电①当AB距离为2x时，2xlFgm电②①②得：81)2(222222xqkxqkFFmm电电mm8[来源:学+科+网]答案：8OLFTLF电AXBmg图7OLLAXB图6Bd2vA1v图5解题小法：本题利用“相似三角形”求解动态平衡问题。这类问题的特点是：物体在三力作用下的动态平衡，且其中一个力大小和方向恒定，其它两个力的大小和方向都可变，这些变化是由物体间距离的变化引起的，且题目还给出了有关边的长度，这时要注意力的矢量三角形和几何三角形相似的几何知识运用。三、余弦定理的应用例5：2012年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）解析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地球转动的角速度，由万有引力提供向心力得22mrrMmG式中G为万有引力常量，因为同步卫星绕地心转动的角速度与地球自转的角速度相等，有T2在地球表面又有mgRMmG2设嘉峪关到地球同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理得cos222rRRrL所求时间clt由以上各式得cgTRRRgTRtcos42431222232222这些问题都涉及到各物理量的矢量关系和几何关系，解题时关键是要非常注意分析各物理量的矢量、矢量关系、几何关系。我们知道物理的基本规律，除了用抽象的物理公式描述之外，还可以利用函数图、矢量图、几何图、示意图等直观、形象、概括地表示。为此，要熟悉各种图象的作图方法、物理意义等到，常握有关物理量的矢量性，理解物理过程的几何关系。这对加深理解基本RLOα地心图8概念、熟悉基本规律的应用和培养形象思维能力，都具有重要意义。而且，应用三角形的知识解题能够直观、简捷地得出结论。