2003年全国初中数学联赛试题

2003年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题（42分）1.计算：232217122等于()(A)5-42(B)42-1(C)5(D)12.在十边形的所有内角中,锐角的个数最多是()(A)0(B)1(C)3(D)53.若函数y=kx(k0)与函数y=1x的图象相交于A、C两点，AB垂直于x轴于B,则ΔABC的面积为()(A)1(B)2(C)k(D)k24.满足等式200320032003xyyxxyxy=2003的正整数对(x,y)的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)45.设ΔABC的面积为1,D是边AB上一点,且13ADAB.若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为34,则CEEA的值为()(A)12(B)13(C)14(D)156.如图,在ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切。若AB=4，BE=5，则DE的长为（）(A)3(B)4(C)154(D)165二、填空题（28分）1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.若ΔABC是直角三角形,则ac=_______.2.设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-95而小于37,则m=______.3.如图,AA/、BB/分别是∠EAB，∠DBC的平分线.若AA/=BB/=AB，则∠BAC的度数为________.4.已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是____.EDCBAEDCBAB'A'EDCBANMPFEDCBADCBA三、（20分）在ΔABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF；过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P.设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证：（1）ΔDEM≌ΔDFN.（2）∠PAE=∠PBF.四、（25分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a+1b=b+1c=c+1d=d+1a=x,试求x的值.五、（25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形的边长的平方和的最小值.参考答案一、选择题（42分）1.(D)解:原式=222(21)(38)=1.故选(D)2.(C)3.(A)解:设A点的坐标为A(x,y),则xy=1,故ΔABO的面积为1122xy.又因为ΔABO与ΔCBO同底等高,因此,ΔABC的面积=2×ΔABO的面积=1.故选(A)4.B解:由题设有(2003)(2003)0xyxy,而20030xy,所以2003xy=0,故xy=2003.又因为2003为质数,因此有12003,20031xxyy,故选(B).5.(B)解:如图,连结BE,SΔADE=1-3144.设CECA=x,则SΔABE=1-x,SΔADE=111,344xx=.所以13CEEA.故选(B).6.D解:连结AC,CE.因为AE∥BC,所以ABCE是等腰梯形,所以AC=BE=5.又因为DC∥AB,DC与圆相切,所以∠BAC=∠ACD=ABC.所以,AC=BC=AD=5,DC=AB=4.又DC2=AD×DE,所以DE=2165DCAD.故选(D).二、填空题（28分）1.解:设A(x1,0),B(x2,0),由ΔABC是直角三角形知x1与x2必异号,而x1与x2是方程ax2+bx+c=0两个根,故x1·x2=ca0.由射影定理知丨OC丨2=丨A0丨·丨BO丨,即c2=丨x1丨·丨x2丨=丨ca丨,EDCBAEDCBA故ac=-1.2.解:由题设知:3(-95)2+m(-95)-20(1);3(-37)2+m(-37)-20(2).由(1),得9193525m,故m41345;由(2),得m3821.而m是整数,故m=4.3.解:设∠BAC的度数为x,因为AB=BB/,所以∠B/BD=2x,∠CBD=4x,因为AB=AA/,所以∠AA/B=∠ABA/=∠CBD=4x.因为∠A/AB=12(1800-x),所以12(1800-x)+4x+4x=1800.解得x=120.4.已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是____.解:设(a,b)=d,则a=md,b=nd,其中mn,且m与n互质.于是a×b的最小公倍数为mnd.依题意有120105mdndmndd,即3()235①357②mndmn由mn,据②,得1051mn或353mn或215mn或157mn.根据①,只能取157mn,可求得d=15,故a、b中较大的数是md=225.三、证明：如图，据题设可知，DM平行且等于BN，DN平行且等于AM，所以，∠AMD=∠BND。因为M、N分别是RtΔAEP和RtΔBFP斜边的中点,所以,EM=AM=DN,FN=BN=DM,又已知DE=DF,所以ΔDEM≌ΔDFN.(2)由ΔDEM≌ΔDFN可知,∠EMD=∠FND,所以∠AME=∠BNF,而ΔAME、ΔBNF均为等腰三角形,所以∠PAE=∠PBF.NMPFEDCBAB'A'EDCBA四、解:由已知，有a+1b=x--(1),b+1c=x--(2),c+1d=x--(3),d+1a=x--(4).由(1)解出b=1xa--(5),代入(2)得c=21xaxax---(6)(6)代入(3)得+=x,即dx3-（ad+1)x2-(2d-a)x+ad+1=0(7)由(4)得ad+1=ax,代入(7)得(d-a)(x3-2x)=0,由已知d-a≠0,所以x3-2x=0,若x=0,则由(6)得a=c,矛盾.故有x2=2,x=±2.五、（25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形的边长的平方和的最小值。解：（1）如图，设AB=a,CD=b,AC=t,并设ΔABC中AB边上的高为h1,ΔADC中DC边上的高为h2.则SABCD=SΔABC+SΔADC=12(h1a+h2a)≤12t(a+b),仅当h1=h2=t时等号成立,即在四边形ABCD中,当AC⊥AB及AC⊥CD时等号成立.由已知可得64≤t(a+b),又由题设a+b=16-t,可得64≤t(16-t)=64-(t-8)2≤64,于是必有t=8,a+b=8,且这时AC⊥AB及AC⊥CD.因此这样的四边形有4个:a=1,b=7,t=8;a=2,b=6,t=8;a=3,b=5,t=8;a=b=4,t=8.它们都是以AC为高的梯形或平行四边形.(2)又由AB=a,CD=8-a,则CD2=82+a2,AD2=82+（8-a)2,因此,这样的四边形的边长的平方和为2a2+2(8+a)2+128=4(a-4)2+192,故当a=b=4时,上述平方和最小,且最小值为192.th1h1baDCBA