2003年上海高考数学（文）试题

2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）本试卷共22道题，满分150分奎屯王新敞新疆考试时间120分钟奎屯王新敞新疆第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分奎屯王新敞新疆1．函数)4sin(cos)4cos(sinxxxxy的最小正周期T=.2．若则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23xx奎屯王新敞新疆3．在等差数列}{na中，a5=3,a6=－2,则a4+a5+…+a10=奎屯王新敞新疆4．已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是奎屯王新敞新疆5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x||x|4},B={x|x2－4x+30},则集合{x|x∈A且}BAx=.7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=.（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a1，公比为q的等比数列}{na的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=.9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nCnBnA其中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则nnSlim=.12．给出问题：F1、F2是双曲线201622yx=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内..二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tg|x|.B．y=cos(－x).C．).2sin(xyD．|2|xctgy.14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N)41,21(四点中，函数xay的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）A．P．B．Q.C．M.D．N.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A．若a0,则函数g（x）的图象关于原点对称.B．若a=1，0b2,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称D．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.[来源:学+科+网][来源:学科网ZXXK]19．（本题满分14分）已知函数xxxxf11log1)(2，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.[来源:Zxxk.Com]20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？[来源:Zxxk.Com]（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lhS4，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）[来源:Z&xx&k.Com][来源:学_科_网][来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com][来源:Z#xx#k.Com][来源:Zxxk.Com]21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆02622yyxx关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.[来源:Zxxk.Com][来源:Z*xx*k.Com]22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{na（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021CaCaCaCaCaCaCa（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.（3）设q≠1，Sn是等比数列}{na的前n项和，求：nnnnnnnnCSCSCSCSCS134231201)1(2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π.2．34.3．－49.4．)21,21(.5．arctg2.6．[1,3].7．.611arccos8．10,0)(21,1(1qa的一组数）.9．19011910．2.6.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号CDDB三、（第17题至第22题）17．[解].2sin412cossin2)sin(cos)cossin1(|)sin(coscossin1|||2222221izz故||21zz的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB=30°，于是BB1=31BD=2.[来源:学+科+网Z+X+X+K]故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=38.19．[解]x须满足,11011,0110xxxxxx得由所以函数)(xf的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(xf的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有)()11log1(11log1)(22xfxxxxxxxf，所以)(xf是奇函数.研究)(xf在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1x2，则,0)112(log)112(log,011)],112(log)112([log)11(11log111log1)()(1222211222212222112121xxxxxxxxxxxxxxxfxf由得)()(21xfxf0，即)(xf在（0，1）内单调递减，由于)(xf是奇函数，所以)(xf在（－1，0）内单调递减.20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为12222byax.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744ala此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222bhalbabaSablhSbhalababba此时得有取最小值时当所以且即因为[来源:学&科&网Z&X&X&K]故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba于是,121481222aab,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222aaSabaaba有取最小值时当即得.229,211ba以下同解一.21．[解]（1）设,034100,0||||||2||},,{22vuvuOAABOAABvuAB即则由得},3,4{.86,86vuABOAOBvuvu因为或所以v－30,得v=8,故AB={6，8}.（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：.21xy由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x,y）则,31,231021223yxxyyx得故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10奎屯王新敞新疆（3）设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于直线OB对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121aaaaaaxaxxxaaxxaxxxxyyyyxx得于是由的两个相异实根为方程即得故当23a时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.22．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021qaqaqaqaaCaCaCaCaqaqaqaaCaCaCa（2）归纳概括的结论为：若数列}{na是首项为a1，公比为q的等比数列，则nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqaCqCqCqqCCaCqaCqaCqaqCaCaCaCaCaCaCanqaCaCaCaCaCa)1(])1([)1()1(:.,)1()1(13322101133122111011342312011134231201证明为正整数（3）因为,111qqaaSnn.)1(1])1([1])1([11)1(111)1(133221013210111123111211011134231201nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqqqaCqCqCqqCCqqaCCCCCqaCqqaaCqqaaCqqaaCqqaaCSCSCSCSCS所以