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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2005年上海高考数学(理)试题
2005年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理工农医类)考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题,满分150分,考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数)1(log)(4xxf的反函数)(1xf=__________.2.方程0224xx的解是__________.3.直角坐标平面xoy中,若定点)2,1(A与动点),(yxP满足4OAOP,则点P的轨迹方程是__________.4.在10)(ax的展开式中,7x的系数是15,则实数a=__________.5.若双曲线的渐近线方程为xy3,它的一个焦点是0,10,则双曲线的方程是__________.6.将参数方程sin2cos21yx(为参数)化为普通方程,所得方程是__________.7.计算:112323limnnnnn=__________.8.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是__________.(结果用分数表示)9.在ABC中,若120A,AB=5,BC=7,则ABC的面积S=__________.[来源:学*科*网]10.函数2,0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是__________.11.有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是__________.[来源:Zxxk.Com]12.用n个不同的实数naaa,,,21可得到!n个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n行的数阵.对第i行iniiaaa,,,21,记inniiiinaaaab)1(32321,!,,3,2,1ni.例如:用1,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621bbb,那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,12021bbb=__________.123123123123123123二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.13.若函数121)(xxf,则该函数在,上是()A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值14.已知集合RxxxM,2|1||,ZxxxP,115|,则PM等于()A.Zxxx,30|B.Zxxx,30|C.Zxxx,01|D.Zxxx,01|15.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在16.设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf,则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是()A.0b且0cB.0b且0cC.0b且0cD.0b且0c三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17.(本题满分12分)已知直四棱柱1111DCBAABCD中,21AA,底面ABCD是直角梯形,∠A是直角,AB||CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线1BC与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)18.(本题满分12分)证明:在复数范围内,方程iiziziz255)1()1(||2(i为虚数单位)无解.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PFPA.[来源:Z,xx,k.Com](1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于||MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学.科.网Z.X.X.K]20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[来源:学科网ZXXK][来源:Z,xx,k.Com][来源:Z&xx&k.Com][来源:学§科§网][来源:学_科_网]21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.对定义域是fD、gD的函数)(xfy、)(xgy,规定:函数gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxfxh且当且当且当),(),(),()()(.(1)若函数11)(xxf,2)(xxg,写出函数)(xh的解析式;(2)求问题(1)中函数)(xh的值域;(3)若)()(xfxg,其中是常数,且,0,请设计一个定义域为R的函数)(xfy,及一个的值,使得xxh4cos)(,并予以证明.22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点nnnPPPP2,,,2,3,2,2,2,133221,其中n是正整数,对平面上任一点0A,记1A为0A关于点1P的对称点,2A为1A关于点2P的对称点,...,nA为1nA关于点nP的对称点.(1)求向量20AA的坐标;(2)当点0A在曲线C上移动时,点2A的轨迹是函数)(xfy的图象,其中)(xf是以3为周期的周期函数,且当3,0x时,xxflg)(.求以曲线C为图象的函数在4,1上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量nAA0的坐标.[来源:Zxxk.Com]数学(理)参考答案说明1,本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.一、(第1题至第12题)1.14x2.x=03.x+2y-4=04.215.1922yx6.4)1(22yx7.38.739.341510.31k11.3150a12.-1080二、(第13题至16题)[来源:学*科*网Z*X*X*K]13.A14.B15.B16.C三、(第17题至第22题)17.[解法一]由题意AB//CD,BAC1是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得5AC,[来源:学*科*网]又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.在梯形ABCD中,过C作CH//AD交AB于H,得13,3,2,90CBHBCHCHB又在1CBCRt中,可得171BC,在.17173arccos,171732cos,112121211ABCBCABACBCABABCABC中∴异而直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图,以D为坐标原点,分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1(0,1,2),B(2,4,0)),2,3,2(1BCCDBCCD与设1),0,1,0(所成的角为,则,17173arccos.17173||||cos11CDBCCDBC∴异面直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos18.[证明]原方程化简为.31)1()1(||2iziziz设yixzx(、)Ry,代入上述方程得.312222iyixiyx)2(322)1(122yxyx将(2)代入(1),整理得.051282xx)(,016xf方程无实数解,∴原方程在复数范围内无解.19.[解](1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0)设点P的坐标是},4{},,6{),,(yxFPyxAPyx则,由已知得.623,018920)4)(6(120362222xxxxyxxyx或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能Pyxy(2)直线AP的方程是.063yx设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是2|6|m,于是,2,66|,6|2|6|mmmm解得又[来源:学科网ZXXK]椭圆上的点),(yx到点M的距离d有,15)29(94952044)2(222222xxxxyxd由于.15,29,66取得最小值时当dxx20.解:(1)设中低价房面积形成数列na,由题意可知na是等差数列,其中a1=250,d=50,则,22525502)1(2502nnnnnSn令,4750225252nn即.10,,019092nnnn是正整数而∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1由题意可知nnba85.0有250+(n-1)50400·(1.08)n-1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21.解(1)11),1()1,(1)(2xxxxxh(2)当.21111)(,12xxxxxhx时若,4)(,1xhx则其中等号当x=2时成立,若,0)(,1xhx则其中等号当x=0时成立,[来源:学#科#网]∴函数),4[}1{]0,()(的值域xh(3)[解法一]令,4,2cos2sin)(xxxf则,2sin2cos)4(2cos)4(2sin)()(xxxxxfxg于是.4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(xxxxxxfxfxh[解法二]令2,2sin21)(xxf,则,2sin21)2(2sin21)()(xxxfxg于是.4cos2sin21)2sin21)(2sin21()()()(2xxxxxfxfxh22.[解](1)设点),(0yxA,A0关于点P1的对称点A1的坐标为),4,2(1yxAA1关于点P2的对称点A2的坐标为)4,2(2yxA,所以,}.4,2{20AA(2)[解法一
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