2006年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题

2006年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题2006.5.14AM8:00~10:00（网络版无答案）注意：“网络版无答案”这几个字请在转载时在标题内予以保留一、选择题1.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点的距离y与点与点P走过的路程x的函数关系如图，则P走过的图形是（）A.B.2.函数4sin)(xxf，若存在实数x1、x2，使对任意实数x，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是（）A.8πB.4πC.2πD.π3.已知数列211a，32312a，…，11211nnnnan，…，则设13221111nnnaaaaaaS，则S2006最接近的整数是（）A.2B.3C.4D.54.n为正整数，n!=1×2×3…×n，那么1!×1+2!×2+…+58!×58+59!×59除以2006的余数为（）A.1B.5C.401D.20055.两个整数x、y满足方程(*)：(2x+9y)2006+(4x－y)2006=7777777，就称数组(x，y)为方程(*)的一组整数解，则(*)的整数解组数为（）A.0B.1C.2D.2006二、填空题6.1||a，1||b，bac，ac，则a与b的夹角为_________度。7.f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线21x对称，则f(1)+f(2)+…+f(2006)=____________。8.△ABC中，ABBabasinsinsin，CCBA2cos1cos)cos(，则bca=_________。9.递增数列{an}有a1=6，当n∈N+，n≥2时，8911nnnnaaaa，则a70=_____。10.△ABC中，34AB，105BC，262CA，则△ABC的面积是______。三、解答题11.△ABC中，r为内切圆半径，与BC切的旁切圆半径为ra，与AC切的旁切圆半径为rb，与AB切的旁切圆半径为rc，求证rrrrcba1111。（与三角形一边相切并与其他两边的延长线相切的圆叫做旁切圆，每个三角形都有三个旁切圆）Oyxl/2lC.D.12.a1、a2、…、an为正数，对实数b1、b2、…、bn和c1、c2、…、cn总有aici(bi)2(i=1，2，…，n)，求证(a1+a2+…+an)(c1+c2+…+cn)≥(b1+b2+…+bn)2。13.大三角形ABC的内部取n个点，将大三角形剖分成若干小三角形（每2个小三角形或者有1个公共顶点，或者有1条公共边，或者完全没有公共点），现将A顶点涂成红色，将B顶点涂成蓝色，将C顶点涂成黑色，其余n个点的每一个点也任意染成红、蓝、黑三种颜色之一，称三个顶点颜色恰为红、蓝、黑的小三角形为“特征三角形”，证明至少一个小三角形为“特征三角形”。