2007年东莞市高中数学竞赛决赛试题

2007年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题表内．）1．要得到函数xy3cos的图象，只需将函数xy3sin的图象A．右移12个单位B．左移12个单位C．右移6个单位D．左移6个单位2．点),(yx在直线32yx上移动，当24xy取最小值时,点),(yx与原点的距离是A．354B．4516C．324D．983．已知等差数列｛na｝的前n项和为nS，若OCaOAaOB2001，且CBA、、三点共线（该直线不过原点O），则200S等于A．100B．101C．200D．2014．用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能．．．是(1)钝角三角形；(2)直角三角形；(3)菱形；(4)正五边形；(5)正六边形．下述选项正确的是A．(1)(2)(5)B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D．(3)(4)(5)5．设函数3fxxxR，若02时，sin10fmfm恒成立，则实数m的取值范围是A．),0(B．),1(C．)1,(D．]1,0[6．集合0,1,2,3,4,5S，A是S的子集．当xA时，有(1)xA且(1)xA，则称x为A的一个“连续元素”．那么S的所有子集中，只含有．．．两个“连续元素”的子集的个数为A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知24logxa,40logxb，12logxabc．那么xclog=．8．站在河边看对岸的目标A与B，但不能到达．在岸边选取相距1千米的DC、两个观测点，同时测得45ADBADCACB，60BCD（A、B、C、D在同一平面上），则目标A与B之间的距离为千米．9．定义运算a*b为：a*b=)()(babbaa，如1*2=1，则函数xxf2)(*x2的最大值为______________．10．若正数ba、满足)1(3aba，则ab的取值范围是．11．甲、乙两人约定傍晚6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，则两人在傍晚6时到7时之间会面的概率是．12．在数列}{na中，11a，0211nnnnaaaa，则该数列的通项na等于．答题卡一、选择题题号123456答案二、填空题7．8．9．10．11．12．三、解答题（本大题共4小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDS中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面SAD为正三角形，且垂直于底面ABCD．（1）求四棱锥ABCDS的体积；（2）在边CD上是否存在一点E，使得AESB？请说明理由．SABCD14．（本小题满分15分）关于yx、的方程C：04222myxyx．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）在方程C表示圆时，若该圆与直线l：042yx相交于NM、两点，且554||MN，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，若定点A的坐标为（1，0），点P是线段MN上的动点，求直线AP的斜率的取值范围．PnPn+115．（本小题满分15分）在xoy平面上有一系列点),,(),,(222111yxPyxP…，),,(nnnyxP．对每个正整数n,点nP位于函数)0(2xxy的图象上．以点nP为圆心的⊙nP与x轴都相切，且⊙nP与⊙1nP彼此外切．若11x,且nnxx1（*Nn）．（1）求证：数列}1{nx是等差数列；（2）设⊙nP的面积为nS，nnSSST21,求证：对任意*Nn，均有23nT．16．（本小题满分18分）二次函数rqxpxxf2)(中，实数rqp、、满足mrmqmp12=0,其中0m．求证：(1)0)1(mmpf；(2)方程0)(xf在(0，1)内恒有解．