2007年广州市初中数学青年教师解题比赛试题-新人教

2007年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷2007－4－15本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．对于实数a，下列运算正确的是（）．（A）)2(121aa（B）3232aaa（C）623)(aaa（D）422)()(aaa2．给出以下三个命题：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确的命题是（）．（A）①和②（B）①和③（C）②和③（D）③3．已知等差数列}{na的前n项和为nS，且,7,384SS则12S的值是（）．（A）8（B）11（C）12（D）154．如果ba,为实数，则“ba”是“直线2)()222byaxxy与圆（相切”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．已知AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P,那么ABCD等于（）．（A）BPDsin（B）cosBPD（C）tanBPD（D）cotBPD6．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等．图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（）．(3)(2)(1)（A）3个球（B）4个球（C）5个球（D）6个球7．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式bca的值等于（）．（A）43（B）6（C）43（D）68．已知集合}3,2,0{A，},,|{AbaabxxB且，则集合B的子集的个数是（）．（A）4（B）8（C）15（D）16·ABOPCD第5题图第7题图9．如图，ABC的角,,ABC所对边分别为,,abc，点是OABC的外心，，于，于EACOEDBCOD，于FABOF则ODOEOF∶∶（）．（A）abc∶∶（B）cba1:1:1（C）CBAcos:cos:cos（D）CBAsin:sin:sin10．设ab，在同一平面直角坐标系内，一次函数abxy与baxy的图象最有可能的是（）．11．二次函数2yaxbxc的图象如图所示，)2,(nQ是图象上的一点，且BQAQ，则a的值为（）．（A）13（B）12（C）－1（D）－2第II卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）12．随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________．13．如果关于x的方程012122axax有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是．14．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于DA和的任意一点，且BDPE，FEACPF、,分别是垂足，那么PFPE___________．15．已知012xx,那么代数式123xx的值是．16．已知zyx,,为实数，且3,5zxyzxyzyx，则z的取值范围为．17．已知正方形ABCD的面积35平方厘米,E、F分别为边AB、BC上的点,AF和CE相交于点G,并且ABF的面积为5平方厘米,BCE的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是___________平方厘米．ABQOxy第9题图第11题图第14题图第17题图2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2007-4-15一、选择题答案（每小题4分，共44分）题号1234567891011答案二、填空题答案（每小题5分，共30分）12．13．14．15．16．17．三、解答题（共8小题，满分76分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（本小题8分）已知01a，21aA，21aB，aC11，试比较A、B、C的大小，并说明理由．19．（本小题8分）设)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，并且xxxgxf2)()(，求)(xf和)(xg．区学校姓名考号20．（本小题10分）已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：CDMN；（2）若PDA45°，求证MN⊥面PCD．第20题图21．（本小题10分）在ABC中，,60,40ACAB以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若DCBD和的长均为正整数，求BC的长．第21题图22．（本小题10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，1AB，A900，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且BEFE，求CEF的面积．23．（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程kxxkxx3132的解，求实数k的取值范围．第22题图24．（本小题10分）如图，在梯形PMNQ中，MNPQ//，对角线MQPN和相交于点O，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为4321SSSS、、、．试判断21SS和43SS的大小关系，并证明你的结论．第24题图25．（本小题10分）已知42mmy,若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）（1）求cba、、的值；（2）对cba、、进行如下操作：任取两个求其和再除以2，同时求其差再除以2，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论．密封线密封线2007年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准一、选择题答案（每小题4分，共11小题，共44分）题号1234567891011答案DCCABCADCBB注：3．选C[解析]：∵｛an｝等差数列，∴2(S8－S4)=S4＋(S12－S8)，且S4=3，S8=7，则S12=12.4．选A[解析]：若a=b，则直线与圆心的距离为22|2|aa等于半径，∴2)()222byaxxy与圆（相切．若2)()222byaxxy与圆（相切，则22|2|ba，∴40baba或．故“a=b”是“直线2)()222byaxxy与圆（相切”的充分不必要条件.8．选C[解析]：如果ba,中至少有1个为零，则0ab；如果2ba，则4ab；如果3ba，则9ab；如果2332aabb或，则6ab，于是B＝{0，4，6，9}，∴B有42＝16个子集.10．选B[解析]：由方程组baxyabxy的解知两直线的交点为),1(ba，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于ba，故图D不对；故选B.11．选B[解析]：设),0,(),0,(21xBxA由,22cbnan且222ABBQAQ，得21a.二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）12．365.13.211a.因式分解得0121axx，因此“小于1的正数根”是12a.由1120a得211a.14.1360.如图，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所以,136013512AG所以1360PFPE.15.2.2)1()(122233xxxxxxx22)1()1(22xxxxx.16.3131z.3,5zxyzxyzxy代入由，得0)35()5(22zzxzx，因为x为实数，所以0，解得3131z.17．27204.∵72ABCABFSSBCBF，同理54BABE,如图，连BG.记aSAGE，bSEGB，cSBGF，dSFGC.由已知5cba，14dcb，解之得2728b，27100c.∴)(2720427128平方厘米cbSBEGF.三、解答题答案（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）18．解：它们的大小关系为CAB.………………………2分由01a得01a，02)1()1(222aaaBA得BA，…………4分0143)21(1)1()1(11222aaaaaaaaaAC，得AC，………………6分即得CAB.………………8分19．解：)(xf为奇函数)()(xfxf)(xg为偶函数)()(xgxg…………………2分由xxxgxfxxxgxf22)()()()(…………………4分从而xxxgxfxxxgxf22)()(,)()(…………………6分222)()()()()()(xxgxxfxxxgxfxxxgxf…………………8分20．证明：分平面平面面平面为平行四边形，四边形且又则中点为，又、连中点取5.//,//,21,//.21,//,,)1(CDMNAECDADPAEADPCDADCDPACDABCDCDABCDPAAEMNAMNENEAMNEAMCDAMCDAMCDNECDNEPCNAENEEPD分平面又则为等腰直角三角形时当10.,,//,,45)2(PCDMNDCDPDPDMNAEMNPDAEPADRtPDA21．设BD＝a，CD＝b，（a，b为正整数）作AE⊥BD，垂足为E，则AB＝AD＝40，BE＝DE＝2a．∵222)2(40aAE，222)2(60baAE，∴2222)2(60)2(40baa，∴34522000)(bba，…………………6分∵20＜ba＜100，∴只有,52,5232bba或.5,5224bba………………9分故BC的长为50或80．…………………10分22．解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．…………2分因为∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，…………………4分所以2412AEABCDCEABCESSEABCDE，）（．………………6分又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以2CDCESSCDFCEF．……………8分所以241214132413232ABCABECDECEFSSSS．………10分解法2：如图，作FH⊥CE于H，设FH=h．………………2分因为∠ABE＋∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，于是Rt△EHF∽Rt△BAE．………………4分因为，即hEHAEABFHEH2.所以hHC221．又因为,FHHC所以,61,221hhh…………………8分所以24161212121FHECSCEF．………………10分23．解：原方程可化为0)3(322kxx，①…………………1分（1）当△＝0时，833k，4321xx满足条件；…………………2分（2