2008年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题及参考答案

2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8：30——10：30）题号一二三总分(1—10)(11—17)181920得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号12345678910答案1.若a为实数，则化简2a的结果是A.－aB.aC.±aD.|a|2．如果1)1(2xmx是完全平方式，则m的值为A．－1B．1C．1或－1D.1或－33.如图1，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点.若想求出MN的长度，那么只需条件A．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D.CN＝24．在平面直角坐标系yox内，已知A(3，－3)，点P是y轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P共有A．2个B．3个C．4个D.5个5．已知关于x的方程01)2(xba无解，那么ba的值是A．负数B．正数C．非负数D．非正数6．一次函数)1(xky的图像经过点M(－1，－2)，则其图像与y轴的交点是A．（0，－1）B．（1，0）C．（0，0）D．（0，1）图1NMCBAl7．如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE(∠ACE＜120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.鞋码3839404142人数532下列说法中正确的是A．这组数据的中位数是40，众数是39B．这组数据的中位数与众数一定相等C．这组数据的平均数P满足39＜P＜40D．以上说法都不对9．如图3，A、B是函数xky图像上两点，点C、D、E、F分别在坐标轴上，且与点A、B、O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是A.3B.6C.9D.1210.某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A．4次B．5次C．6次D.7次二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）11．如果不等式组001axx无解，则a的取值范围是____________．12．已知1ba，122ba，则20082008ba_________．13．如图4，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB54，EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是__________．14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_________．15．已知a、b为实数，且1ba，1a，设11bbaaM，1111baN，则NM的值等于图3图2ABCDEPM图4ABCDEP·________．16.如图5，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为_________．17.一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体18.若直线by（b为实数）与函数342xxy的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是_________．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19.某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？图5ABCDEO·图6主视图左视图20.如图7，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．（1）求证：AF＝DF＋BE．（2）设DF＝x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S.若不存在，请说明理由．2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、1.D2.D3.A4.C5.D6.A7.C8.C9.B10.B二、11.a≤112.－113.4.814.27115.016.－117.5218.0＜b≤1解答提示：1．∵当a＜0时，2a＝|a|＝－a.故选D．图7ABCDEF2．21m，解得1m或3m.故选D．3.ABBCACBCACNCMCMN21212121，∴只要已知AB即可.故选A．4.分别以点A、O、P三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑．5.关于x的方程01)2(xba无解，则02ba.∴有0ba或者a、b异号，故选D．6.∵一次函数)1(xky的图像经过点M(－1，－2)，则有211k，解得1k.所以函数解析式为1xy.令0x代入得1y.故其图像与y轴的交点是(0，－1).故选A．7.易得△ACD≌△BCE.所以△BCE可以看成是△ACD绕着点C顺时针旋转60°而得到的.又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得.所以CP＝CM且，∠PCM＝60°，故△CPM是等边三角形，选C．8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C正确.（或者设穿39码鞋的有x人，且由0≤x≤10也可得解）故选C．9.∵62121OCOD21OCADkyxSAA正方形，∴62121OFOE21BBOCADkyxS长方形，故选B．10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x千克、y千克、z千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a千克、b千克、c千克，则有方程组cxzbzyayx容易求出x、y、z；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B．11．解不等式组001axx得axx1，因为原不等式组无解，所以必有a≤1．12．∵122bababa，又1ba，则1ba∴11baba，解得10ba.故1102008200820082008ba．13.设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x－2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosBxx2，又cosB54，于是542xx，解得x＝10，即AB＝10．所以易求BE＝8，AE＝6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：21AB·PE＝21BE·AE，求得PE的最小值为4.8．14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果．上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P（布，布，布）＝27115．∵1ba，1a，∴)1()1(11abbbaababbbaaabbaaMNba1111．∴NM＝0．剪剪剪布锤剪布剪布锤锤剪布锤小丁小明小倩ABCDEP16.如图，连结AE、BD，作DF⊥EC于点F．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°又∵AB＝AC，∴CE＝21BC＝1，∴AE＝222CEAC∵BDACAEBC2121，∴BD＝554，∴在△ABD中，AD＝553，∴CD＝552又∵△CDF∽△CAE，∴AEDFCACD，可求得DF＝54.∴△CDE的面积为5221DFCE．解法2：如图，连结AE、BD，DE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°又∵AB＝AC，∴BE＝CE＝1，∴AE＝222CEAC．∵BDACAEBC2121，∴BD＝554，∴在△ABD中，AD＝553，∴CD＝552．∴S△CDE＝21S△BDC＝2152552554212121CDBD．17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块．18.y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，此函数的大致图象如图①所示，因些函数y＝|x2－4x＋3|的图象如图②所示，而当b取遍所有实数时，y＝b表示所有与y轴垂直的直线，结合①②，易知b的取值范围为0＜b≤1．三、19．因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：设小美第二次购物的原价为x元，则（x－300）×0.8＋300×0.9＝282.8解得，x＝316情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．20．（1）证明：如图，延长CB至点G，使得BG＝DF，连结AG.因为ABCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABG＝90°，DF＝BG．∴Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.又∵AE是∠BAF的平分线∴∠EAF＝∠BAE，∴∠DAF＋∠EAF＝∠BAG＋∠BAE即∠EAD＝∠GAE．∵AD∥BC，∴∠GEA＝∠EAD，∴∠GEA＝∠GAE，∴AG＝GE.即AG＝BG＋BE.∴AF＝DF＋BE，得证．（2）ABBEADDFSSSABEADF2121∵AD＝AB＝1，∴)(21BEDFS由（1）知，AF＝DF＋BE，所以AFS21．在Rt△ADF中，AD＝1，DF＝x，∴12xAF，∴1212xS．ABCDEFG俯视图212ABCDEFO·y1O3xM(2,-1)·图①yy=113xOM/(2,1)图②ABCDEO·由上式可知，当x2达到最大值时，S最大.而0≤x≤1，所以，当x＝1时，S最大值为2211212x．