2009年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题

2009年新知杯上海市初中数学竞赛一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数，定义，已知,ab()abaabb∗=++2.528.5a∗=，则实数的值是a。2、在三角形中，，其中是大于1的整数，则ABC221,,2ABbBCaCAa=−==,abba−=。3、一个平行四边形可以被分成个边长为1的正三角形，它的周长可能是92。4、已知关于的方程有实根，积为2−，则所有实根的平方和为x4322(3)(2)2xxkxkxk++++++=0并且所有实根的乘。FECBAP5、如图，直角三角形中ABC1,2ACBC==，为斜边PAB上一动点。，则线段,PEBCPFCA⊥⊥EF长的最小值为。6、设是方程的两个根，是方程的两个根，则,ab26810xx++=,cd28610xx−+=()()()(acbcadbd)++−−的值为。7、在平面直角坐标系中有两点P(1,1),(2,2)Q−，函数yk1x=−与线段延长线的图像相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是PQ。8、方程的所有整数解有2009xyz=组。9、如图，四边形中，ABCDABBCCD==78ABC∠=°，162BCD∠=°。设,ADBC延长线交于E，则AEB∠=。MCDCAEBABD10、如图，在直角梯形中，ABCD90ABCBCD∠=∠=°BC，AB10==，点M在上，使得BCADM∆是正三角形，则ABM∆与DCM∆的面积和是。蕴秀斋二、（本题15分）如图，中ABC∆90ACB∠=°，点在CA上，使得，并且，求的长。D1,3CDAD==3BDCBAC∠=∠BC三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：()2abcdabcd=+，其中数字可以是。c0四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。nn五、（本题15分）若两个实数使得,ab2ab+与2ab+都是有理数，称数对是和谐的。(,ab))))①试找出一对无理数，使得(是和谐的；,ab②证明：若(是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数；,abab+,ab③证明：若(是和谐的，且,abab是有理数，则都是有理数。,ab