2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是。【答案】4，1322、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a=。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50,944、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。【答案】55、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为。【答案】2556、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值。【答案】2772第五题图FECBAP7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。【答案】1332k8方程xyz=2009的所有整数解有组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E，则∠AEB=。【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。【答案】3001503二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。解：设BC=x，则21BDx，216ABx，如图，作∠ABD平分第九题图ABCDE第十题图MCDAB第二大题图CBADE线BE，则BDEADB,因此23BDDEDADE。由角平分线定理可知3DEBDDEBDBDDEAEABAEDEABBDABBD。因此2222911161xxxx，解得41111BCx三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，2()abcdabcd其中数字c可以是0。解：设,xabycd,，则2100()xyxy，故22(2100)()0xyxyy有整数解，由于10x100，故y≠0。因此22(2100)4()4(250099)xyyyy是完全平方数，可设2250099ty，故99(50)(50)ytt，0≤50-t50+t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50−t=1或50−t=45，相应得到y=1,25，代入解得982030,,12525xxxyyy因此9801,2025,3025abcd。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于222222222222222,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,,,aaa的最小素因子1215,,,ppp，则必有一个素数≥47，不失一般性设1547p，由于15p是合数15a的最小素因子，因此21515472009ap，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2ab与2ab都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且ab是有理数，则a,b都是有理数；解：①不难验证11(,)(2,2)22ab是和谐的。②由已知22()()()(1)tabababab是有理数，abs是有理数，因此1tabab，解得121tass是有理数，当然b=s−a也是有理数。③若20ab，则abb是有理数，因此22()aabb也是有理数。若20ab，由已知222111aabbbxaabbb是有理数，ayb也是有理数，因此211yxbxy，故21xybyx是有理数，因此22()aabb也是有理数。实验中学2010-1八年级上数学竞赛班级姓名座号一、耐心填一填1、等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为___________．2、如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=___________．3、已知y=1)(22mxmm是关于x的一次函数，则m为____4、观察下列:1×3=3而3=22－1，3×5=15而15=42－1，5×7=35而35=62－1，……，11×13=143而143=122－1你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是__。第2题HHKGCBA5、观察下列规律：3=3，932，2733，8134，24335，72936……用你发现的规律写出20103个位数字为__________6、当m______时，两直线y=2x+4与y=-2x+m的交点在第二象限7、在△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,若∠A=70º,则∠BOC=_______8、若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC=___________二、精心选一选9、直线621xy与直线3111312xy的交点坐标是()．A、(-8，-10)B、(0，-6)；C、(10，-1)；D、以上答案均不对10、如图，直线321lll、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处；B、2处；C、3处；D、4处11、若点P（a,b）在第二象限，则点Q(a-1,-b）关于y轴对称点（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12、△ABC和△A’B’C’中,①AB=A’B’②BC=B’C’③AC=A’C’④∠A=∠A’,⑤∠B=∠B’⑥∠C=∠C’则不能证出△ABC≌△A’B’C’的条件是()A、①②③B、①②⑤C、①②④D、②⑤⑥13、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A、4B、3C、2D、114、如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（）A、20°B、30°C、40°D、50°15、已知0abc，并且pbacacbcba，那么直线ppxy一定通过（）.A.第一、第二象限B.第二、第三象限C.第三、第四象限D.第一、第四象限16、如图，在△ABC中，DACAB,点在AB上，ACDE于E，BCEF于F.第13题第14题CDBA21E2l3l1l（第16题）若140BDE，那么DEF等于（）.A.55°B.60°C.65°D.70°三、从生活中学数学，应用数学到生活中。17、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE.（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？18、如图，已知直线1l:y=2x+1、直线2l:y=-x+7，直线1l、2l分别交x轴于B、C两点，1l、2l相交于点A。(1)求A、B、C三点坐标；(2)求△ABC的面积。ADBCEFyxl2l1OCBA19、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证CE=12BD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。EDCBA20、设关于x的一次函数11bxay与22bxay，则称函数)()(2211bxanbxamy（其中1nm）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1时，求函数1xy与xy2的生成函数的值；（2）若函数11bxay与22bxay的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：（1）当x=1时，)2()1(xnxmy)12()11(nmnm22)(2nm，∵1nm，∴2y．（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上．设点P的坐标为（a，b），∵bbaa11，bbaa22，∴当x=a时，)()(2211bxanbxamy)()(2211baanbaamnbmbbnmb)(，即点P在此两个函数的生成函数的图象上．21、我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：脐橙品种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨脐橙获得（百元）121610（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为yx20，则有：10020456yxyx整理得：202xy（2）由（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、202x、x，由题意得：42024xx，解得：4≤x≤8，因为x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种。方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车；方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车；方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车；（3）设利润为W（百元）则：160048104162025126xxxxW∵048k∴W的值随x的增大而减小要使利润W最大，则4x，故选方案一1600448最大W＝1408（百元）＝14.08（万元）答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元．22、有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？解:一个依次排列的n个数组成一个n数串：123,,,,naaaa依题设操作方法可得新增的数为：所以，新增数之和为：原数串为3个数：3，9，8第1次操作后所得数串为：3，6，9，，8根据（*）可知，新增2项之和为：第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，，，9，8根据（*）可知，新增4项之和为：………………按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520