2010年浙江大学物理竞赛夏令营测试答案(高二)

2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第1页共14页2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）学校_________姓名_________班级_________分数_________1.（15分）如图所示，光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平方向成600解答：角靠墙静止，求棒长.由三力交汇原理，设G、NA、NB交于点H。设HBDθ∠=。tan2tan6023/2HDAEBDBEθ====211cos131tanθθ==+∵cosBEOIOBθ=+，cos60BEAB=∴1(1)13ABa=+2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第2页共14页2、（20分）质量分别为3m、m的小球A、B，用长为4L的轻绳连接，以绳中点建立如图所示坐标系，t=0时刻给B一个瞬时冲量使B获得沿x正方向的速度v（1）求此后A、B的速度大小随时间的变化关系0（2）求A、B运动的轨迹方程答：质心位置质心速度由系统不受外力，质心速度不变，A、B绕质心做圆周运动。由质点系角动量守恒，有2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第3页共14页3.（20分）如图所示，物体A、B用细绳相连挂于定滑轮O上。物体C用劲度系数lmgk/=原长为l的弹簧悬挂于B下。已知他们的质量关系为，mmA2=mmmCB==。开始时使弹簧保持原长，且整个装置静止，然后无初速度释放C，若不计滑轮与绳的质量和摩擦，试求C相对于B的运动规律。解：对A：maTmg22=−对B：maFmgT=−−对C（相对于B）：amFmamg′=−+而平衡时：mgkx=Fxxk=∆+)(解得：xmka∆−=′34故：lgmkw3434==ABCO2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第4页共14页4.（10分）一个人站在广场中央，对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子（频率v=1200Hz）。甲、乙、丙距离广场中央都是100m远。且分别在广场中央的南、东、北面。第四个伙伴丁，则从西面乘车以40m/s的速度赶来。忽然有一阵稳定的风从南向北吹来，速度为10m/s。如图所示。求甲乙丙丁四人听到哨声的频率各是多少？（已知当时声速为320m/s）解答：由于风吹动引起介质相对声源和观察者以rv运动。即||||||ruvv=−。应用多普勒公式有'vvvvvu+=−声声。1200vHz=。对甲：uv=−风，uv=风则'1200vvvvHzvv−==−风声甲风声对乙：由于v风在东西方向无速度分量。故v=u=0所以0'12000vvvHzv+==−声乙声对丙：v=v风，u=-v风则'1200vvvvHzvv+==+风声丙风声对丁：u=0,v=40m/s.32040'12001350320vvvvHzvu++==×=−声丁声2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第5页共14页5、（15分）如图，n摩尔单原子理想气体按P-V图中的图线发生循环过程。循环由竖直（1-2）和水平（3-1）部分以及“阶梯”（2-3）组成。各个台阶中的每一个气体的压强与体积变化相同且均变化一次。压强和体积的最大与最小值的倍率都为k。求按此循环工作的热机效率。解：⑴n个台阶中每一个气体压强的改变ΔP=nPk。)1(−每一个气体体积的改变ΔV=nVk。)1(−一个循环中的气流对扑所作的点功等于闭合图线所包围的面积。则该循环中气体对扑所作点功为W=ΣΔPΔV=ΔPΔV(1+2+….+n)=2)1(nV1)-(k22+nPn。。=。。V2)1(2)1(22Pknk−+−气体经历1-2过程为等容升压过程。温度升高，内能增加，气体从外界吸热Q1=nCv(T2-T1)其中T1,T2分别为1和2状态的温度又由克拉伯龙方程P。V。=nRT1解得Q1=23(k-1)P。V。kP。V。=nRT2⑵2-3过程中，经历n次等压膨胀和等容降压，其中等压膨胀过程中气体吸收热量Q2，而等容降压过程中对扑散热，则Q2=nCp(ΔT1+ΔT2+…….ΔTn)其中ΔT1+ΔT2+…….ΔTn分别为第n次的温度增量又由克拉伯龙方程有nRkP=ΔT1ΔV。，nRkP=−ΔT2ΔP)ΔV(。，……nRnkP=−−ΔTnΔP)ΔV)1((。则Q2=。。）（。（。（。）。（。VPnnkknPnknVkP)1(21452)1()1n)1(25}]ΔP)1nk[ΔPkPΔV{kP252−−−+=−++−=−−+……+−+⑶3-1过程中为降压压缩过程，外界对气体做工，气体内能减少，放出热量，热机效率为511)53(2)1(5)1)(1(22122+−−++−+=+=nknknknQQWy2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第6页共14页6.（20分）如图，竖直平面内有一光滑椭圆轨道，半短轴为b，焦距为2l，在其两焦点间有一均匀带电的细棒，以两焦点为两端，长为2l,电荷线密度为λ，两焦点在同一水平面上。现将一质量为m，电荷量为q的小球放在导轨底端，给其水平初速度v0，求球运动到导轨顶端时给导轨的压力。（设v0解答：足以使小球始终在导轨上运动）如图1，一根均匀带电棒周围某点的电场可看作是一个电荷密度相同的均匀带电圆环产生的电场，由对称性知，其电场强度方向在环角平分线上，即棒两端与该点连线的角平分线上。由椭圆的几何性质知，椭圆上任意一点的法线正是该点与两焦点连线的角平分线。而该轨道两焦点正好在棒的两端点上，因此棒对球的电场力始终与球的运动方向垂直，对球不做功。设顶端速度为v′,由机械能守恒2mgb+mv′2/2=mv2/2，得v′2=v2–4gb。如图2，顶端的电场可等效为一圆环产生电场。在与角平分线方向θ处取一微段Δl。由对称性知，该点电场强度在角平分线上，则该微段贡献场强为ΔE=θελcosb4l20π∆=θελcosb420l∆π，∑∑∆=∆θελcosb420lEπ。由图3，Δlcosθ即为环在棒上的投影，其长度为l′=2l22lbb+。所以E=220lbb2+ελπl，FE220lbb2+ελπlq=，椭圆顶部曲率半径为2222lbbab+==ρ，由N+mg-FEmvρ2′=，解得mglblabagbvN−++−=22022b2)4(ελπ图1图2图32010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第7页共14页7.（15分）如图，电路构成为四面体的棱，各电阻均为R=2Ω，各电源电动势均为E=2V，内阻均为r=1Ω，求节点B、C间的电压。解：先将立体图转化为平面图，将C点压入△ADB中并设电流分布如下在回路ACDA中2E=2113()()IrRIrIIR+++−代入数据并整理得4=123332III+−①回路ACBA中E=221123()()()IrRIIRIIIR++−−−−得2=123472III−++②回路CDBC中1321()EIrIRIIR=+−−得1232322III=−+③联立①②③得123544222;;616161IAIAIA===∴1224()61BCUIIRV=−=2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第8页共14页8、（20分）如图所示有一磁场，出于半径为R但被挖空2R的区域中，即圆O被挖去半径为2R的圆O'的剩余区域，圆O与圆O'内切。该磁场以=Bkt匀速变化（k为常量，单位为T/s）。在O、B（BO'与04abbaπε−垂直且B处于圆O'上）放有质量为m，除带电量外完全相同的两个小球（视为质点）A、B，其中A带正电q，B不带电。在t=0时刻，A从O朝O'以一定速度vA（1）求A球初速度v射出，经某一路径恰与B球相碰，设整个面处于光滑水平面上。A.（2）设A与B相碰时磁场立即停止变化，且A、B二球之间连心线与（6分）O'B平行，且发生完全弹性碰撞，试画出B球与A球相碰之后的运动轨迹，并分别求出两球相碰结束至离开以O为圆心的磁场区域的时间At、Bt（从碰撞开始为At、Bt计时零点）。（14分）解：（1）如图，将原磁场看作如此两匀速变化的磁场的叠加（B=kt），均匀变化的磁场装产生涡旋电场。有222===222BSktrkrtttkrkErrrπεπεπππ∆Φ∆⋅∆⋅∆⋅=⋅∆∆∆⋅∴===⋅（2分）故有1122,22kkErEr=⋅=⋅假设k方向垂直向内，大小等于k题目图2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第9页共14页则112211,22ErkErk=×=×()121212EEErrkrk∴=+=−×=×111,2224REOOBrkkRk′∴×=⋅⋅=方向与垂直且指向大小为即在O′圆内为一个匀强电场，大小为14ERk=，方向与OB′平行（2分）∴A在其中做类平抛运动，有4FEqRkqammm===∴由22,2RmABtakq⋅→==∴24ARRkqvtm==⋅（2分）（2）刚碰时，有B=2mktkkq=（1分）碰撞时，由于平抛运动性质，有A物体沿OB′方向速度2AARkqvvm′==⋅由动量守恒，能量守恒，知在OB′方向的碰撞两物体交换速度。2BARkqvvm′∴==⋅，A球剩下水平向右速度4ARkqvm=⋅碰后电荷平分，2ABqqq==有2121222BBRkqmmvRmRmBqkqkq⋅⋅===⋅⋅，4141222AARkqmmvRmRmBqkqkq⋅⋅===⋅⋅（1分）对于B，轨迹如图2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第10页共14页有旋转时间13332222BBBmmmtBqkqmkqkqπππ⋅⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅（2分）直线运动时间22BBRmtvkq==（2分）11322BBBmtttkqπ∴=+=+（1分）对于A，轨迹如图，以O点为原点建立直角坐标系2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第11页共14页设转角为3sin,cos2444RRRCRθθθ+−，有圆O方程为222xyR+=代入点2223333,,4444RRRRR+有可知90θ（所以轨迹圆应画成90）带入C，有2223sincos2444RRRRRθθ++−=可以解得263sin13θ+=，由此得0.4θπ≈（4分）有0.40.42AAAmmmtBqkqmkqkqθππ==⋅=⋅（1分）（轨迹两条，每条各1分）2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第12页共14页9.（15分）图中，三棱镜的顶角α为60°，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为30.0cmf=的两个完全相同的凸透镜L1和L2．若在L114.3cmy=的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源S，已知其像S′与S对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率解答：光路图如下图所示：如图，角θ的大小为14.3sin0.47730.0ycmfcmθ===从而可得25.5θ=又有光路左右对称，光线经过三棱镜与光轴平行从而由三棱镜顶角与折射率之间的公式可得：()sinsin25.53021.65sin30sin2nαθα++===折射率2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第13页共14页10.（10分）（1）固有长度100m的飞船以81.810m/s×的速度相对地面作匀速直线运动。宇航员测得一粒子从船尾发射后，经过74.010s−×击中船头靶子。则在地面参考系中，粒子从发射到中靶所经过的空间距离为多少？（2）根据相对论力学，动能为0.25MeV的电子，其运动速度约多大？（用c来表示，c为真空中的光速，电子的静能m0c2解：（1）=0.51MeV)(m)2158.0104108.1100/17822=×××+=−′∆+′∆=∆−cutuxt5分（2）解：222k00221(1)1/=−=−−Emcmcmcvc3分2210.51(1)0.251/−=−vc0.74vc=2分2010年浙江省中学生物理竞赛夏令营测试卷（高二年级）第14页共14页附加题（2