2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011年12月4日上午9:00~11:00）题号一（1~8）二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：032mxx①，02mxx②，其中0m。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。2.已知梯形ABCD中，AB//CD，90ABC，ADBD，5BC，13BD，则梯形ABCD的面积为_______________。3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。4.将8个数7，5，3，2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得22hgfedcba的值最小，则这个最小值为____________。5.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得3AE，2BF，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。6.在等腰直角三角形ABC中，90ACB，P是ABC内一点，使得11PA，7PB，6PC，则边AC的长为______________。7.有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。8.已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则dcba的最小值为_________。二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知60DAC，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：LCSM//。解OMSLDCBA10.对于正整数n，记nn21!。求所有的正整数组fedcba,,,,,，使得!!!!!!fedcba，且fedcba。解11.（1）证明：存在整数x，y，满足2022422yxyx；（2）问：是否存在整数x，y，满足?2011422yxyx证明你的结论。解12.对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为1p，2p，...，kp，对于每个kipi1，存在正整数ia，使得1iiaiaipnp，记kakaapppnp2121例如，895210026p。（1）试找出一个正整数n，使得nnp；（2）证明：存在无穷多个正整数n，使得n.np11。解2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1.已知31xx，则10551011xxxx_________。2.满足方程33222yxyx的所有实数对yx，为__________。3.已知直角三角形ABC中，3690CABCC，，，CD为C的角平分线，则_________。4.若前2011个正整数的乘积201121能被k2010整除，则正整数k的最大值为________。5.如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。6.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。7.整数qp，满足2010qp，且关于x的一元二次方程0672qpxx的两个根均为正整数，则p________。8.已知实数cba，，满足0cbacba，且0a。设21xx，是方程02cbxax的两个实数根，则平面直线坐标系内两点1221xxBxxA，，，之间的距离的最大值为_______。9.如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。10.设cba，，是整数，91cba，且1cabbcaabc能被9整除，则cba的最小值是_________，最大值是__________。二、解答题（每题15分，共60分）11.已知面积为4的ABC的边长分别为bccABbCAaBC，，，，AD是A的角平分线，点'C是点C关于直线AD的对称点，若BDC'与ABC相似，求ABC的周长的最小值。yxMNOCBAOGFEHDCBAQPEDCBAC'CDBA12.将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数cfibehghidefabc，，，，和aei都能被11整除，求三位数ceg的最大值13.设实数zyx，，满足0zyx，且2222xzzyyx，求x的最大值和最小值14.称具有22161ba形式的数为“好数”，其中ba，都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数yx，，使得161161yx是“好数”，而yx不是“好数”。ihgfedcba2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题（2009年12月6日）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是。2、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a=。3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。4、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。5、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为。6、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值。第五题图FECBAP7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。8方程xyz=2009的所有整数解有组。9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E，则∠AEB=。10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。三、（本题15分）求所有满足下列条第九题图ABCDE第十题图MCDAB第二大题图CBAD件的四位数abcd，2()abcdabcd其中数字c可以是0。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2ab与2ab都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且ab是有理数，则a,b都是有理数；2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是。【答案】4，1322、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a=。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50,944、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。【答案】5边5、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜小值AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最为。【答案】2556、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。第五题图FECBAP【答案】1332k8方程xyz=2009的所有整数解有组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E，则∠AEB=。【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。【答案】3001503二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。解：设BC=x，则21BDx，216ABx，如图，作∠ABD平分线BE，则BDEADB,因此23BDDEDADE。由角平分线定理可知3DEBDDEBDBDDEAEABAEDEABBDABBD。第九题图ABCDE第十题图MCDAB第二大题图CBADE因此2222911161xxxx，解得41111BCx三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，2()abcdabcd其中数字c可以是0。解：设,xabycd,，则2100()xyxy，故22(2100)()0xyxyy有整数解，由于10x100，故y≠0。因此22(2100)4()4(250099)xyyyy是完全平方数，可设2250099ty，故99(50)(50)ytt，0≤50-t50+t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50−t=1或50−t=45，相应得到y=1,25，代入解得982030,,12525xxxyyy因此9801,2025,3025abcd。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于222222222222222,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,,,aaa的最小素因子1215,,,ppp，则必有一个素数≥47，不失一般性设1547p，由于15p是合数15a的最小素因子，因此21515472009ap，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2ab与2ab都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理