2011年全国初中数学竞赛试题

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a，则代数式32312612aaa的值为().（A）24（B）25（C）4710（D）47122．对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a,b）与(c,d)之间的运算“△”为：（a,b）△（c,d）＝（ac+bd,ad+bc）．如果对于任意实数u,v,都有（u,v）△（x,y）＝（u,v）,那么（x,y）为（）（A）（0,1）（B）（1,0）（C）（﹣1，0）（D）（0,﹣1）3．若1x，0y，且满足3yyxxyxxy，，则xy的值为().（A）1（B）2（C）92（D）1124．点DE，分别在△ABC的边ABAC，上，BECD，相交于点F，设1234BDFBCFCEFEADFSSSSSSSS四边形，，，，则13SS与24SS的大小关系为().（A）1324SSSS（B）1324SSSS（C）1324SSSS（D）不能确定5．设3333111112399S，则4S的整数部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x的方程2(2)(4)0xxxm有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是.8．如图，点AB，为直线yx上的两点，过AB，两点分别作y轴的平行线交双曲线1yx（x＞0）于CD，两点.若2BDAC，则224OCOD的值为.9．若112yxx的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为________.10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF的边长为12，且内接于△ABC，则△ABC的周长为.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值.（第8题）（第10题）12．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点.13．如图，点A为y轴正半轴上一点，AB，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线223yx于P，Q两点.（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.（第12题）14如图，△ABC中，60BAC，2ABAC．点P在△ABC内，且352PAPBPC，，，求△ABC的面积．（第14题）