2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321aaaaA，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{B，则集合A．2．函数11)(2xxxf的值域为．3．设ba,为正实数，2211ba，32)(4)(abba，则balog．4．如果)cos(sin7sincos3355，)2,0[，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD中，已知60CDABDCADB，3BDAD，2CD，则四面体ABCD的外接球的半径为．7．直线012yx与抛物线xy42交于BA,两点，C为抛物线上的一点，90ACB，则点C的坐标为．8．已知naC)95,,2,1(2162003200nnnn，则数列}{na中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(xxf，实数)(,baba满足)21()(bbfaf，2lg4)21610(baf，求ba,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{na满足：tta(321R且)1t，121)1(2)32(11nnnnnntattatan(N)*．（1）求数列}{na的通项公式；（2）若0t，试比较1na与na的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622yx交于BA,两点（如图所示），且)2,23(P在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB，求△PAB的面积．yxOPAB2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4n，存在一个n次多项式0111)(axaxaxxfnnn具有如下性质：（1）110,,,naaa均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意)2(kk个互不相同的正整数krrr,,,21，均有)()()()(21krfrfrfmf．三、（本题满分50分）设)4(,,,21naaan是给定的正实数，naaa21．对任意正实数r，满足)1(nkjiraaaajkij的三元数组),,(kji的个数记为)(rfn．证明：4)(2nrfn．四、（本题满分50分）设A是一个93的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)91,31(nmnm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．