2011年新知杯上海市初中数学竞赛解答

华数教育13524602295上名校—走捷径，人民广场八仙商务楼4B10室2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：230xxm……①，20xxm……②，其中0m.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。【解析】-22.已知梯形ABCD中//ABCD，90,,5,13,ABCBDADBCBD则梯形ABCD的面积为______。【解析】略565243.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.【解析】3265120,210,2Cp总取法数三张都大于或等于的取法数C4.将8个数，-7、-5、-3、-2、2、4、6、13排列为,,,,,,,abcdefgh,使得22()()abcdefgh的值最小，则这个最小值为________.【解析】222,+,8,64()2()=xabcdyefghxyxyxy注意“”取不到，22xy32,奇偶相同，可以取到34=223+5.5.已知正方形ABCD边长为4，,EF分别在,ABBC上，3,2,AEBF,AFDE交于G，则四边形DGFC的面积为。【解析】【方法一】41055407,,,,7.336111111FGDADFGDCFFGFMMBFMSSSGAADM44312GFECDBA【方法二】38321281287,4,,4781111111111DGMGFCDAEGHSSDM华数教育13524602295上名校—走捷径，人民广场八仙商务楼4B10室HMGFEDCBA6.在等腰直角三角形ABC中，90,ACBPABC是内一点，使得11,7,6PAPBPC，则AC边长为____________。【解析】本题的两种方法在我的几何专题中应用多次【方法一】CBP绕C逆时针旋转022290CNA62,,,32,PNPNANPAPNANCMAMCMMN到，作2285422,ACCMAMNM711766PCBA【方法二】坐标法（略）7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45，则第二名选手得分是_______。【解析】最后五名选手得分之和为5的倍数，而第一名最多得18分，而最后五名选手之间要比赛10场，则得分总和最少为20分，易知第二名得分为16分.华数教育13524602295上名校—走捷径，人民广场八仙商务楼4B10室8.已知+++=5+7+3+722.abcd最小都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则abcd的最小值为_________.【解析】=35(35)5,7,18,37,55abcdxxabcdx为个连续整数的中间数，设满足要求二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知60,DACDAC的平分线与DC交于S，直线,OSAD相交于L,直线BLAC与交于M。求证：//SMLC.【解析】不妨设,323,,,,,33AOADADaDSaCSaDASOASDASOASLOACASAS则1212,,,,2,233CMCBCSCMALaCBMALMCMaOMaAMALDSOM//SMLC.300300300600aLMSDCBAO10.求所有正整数组,!!!!!!.abcdefabcdef使得华数教育13524602295上名校—走捷径，人民广场八仙商务楼4B10室【解析】显然,!5!6!6!5!!!!!!ababaabbcdef且，当时，；2!2!!!!!!;32,1;aabcdefabcdef当时,当时，当4,5!!!!,4,aacdefbcde时无解；当时，由5!5b!,b=4,96=综上所述，满足条件的正整数组为(5,4,4,4,4,4),(3,2,1,1,1,1).11.①求证：存在整数22,,42022,xyxxyy满足②是否存在整数22,,42011xyxxyy满足？请证明你的结论。【解析】○1【方法一】22222164(2022)12(674)674=3,31xyyyynyk使得为平方数，设可令，(32)(15)(15),2230,16kknnkk（舍），k=14,y=43,x=1满足条件要求。【方法二】显然22,44,20222(mod4),1(mod4),xyxy必有讨论求解，【方法三】222(2)20223,2025=451,xyyy易观察，，○2.【方法一】2222164(2011)4(32011)201123(mod4),xyyyy若为平方数，3或x不可能为平方数，故原方程无整数解。【方法二】2240,1,2(mod4),20113(mod4),xxyy原方程无整数解.12.整数1n，它的所有不同的素因子为12,,,,1kpppik对于每个，存在正整数ia，使得1iiaaiipnp。记1212()kaaakpnppp，例如62(100)2589p.①找出一个正整数n，使得()pnn；②证明：存在无穷多个正整数n，使得11().10pnn华数教育13524602295上名校—走捷径，人民广场八仙商务楼4B10室【解析】○1送分32(12)231712,p○2由已知121212111,()(),ikaaaaikiknppnpppnpppp由于111111+++,210(),2,3,5,7235710nmmn只要为正整数则的素因子中含有，111111()(+.235710pnnn）综上所述，存在无穷多个正整数n，使得11().10pnn