2012年湖州市初二年级数学竞赛试卷

2012年湖州市初二年级数学竞赛试卷（2012年5月20日上午9：00—11：00）题号一二三总分1－89－1415161718得分评卷人复查人答题时注意:1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．20122012)3()2(的末位数字是（）．A．1B．3C．5D．72．设a、b是方程020122xx的两个实数根，则baa22的值是（）A．2010B．2011C．2012D．20133.桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有两张且只有两张是老K，但是你不知道老K在哪个位置。你随便取了两张并把它们翻开，会出现下面两种情况：(1)两张牌中至少有l张是老K；(2)两张牌中没有l张是老K。比较这两种情况的可能性，可知()A．(1)的可能性大B．(2)的可能性大C．两者一样．D．不能确定4．如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD，M是BC上的点，把△BEM绕点M旋转1800得到△CHM，延长CH交AD于F，则下列结论错误的是（）A．BM=CMB．FM=21EHC．CF⊥ADD．FM⊥BC5.如图所示，P是矩形ABCD内一点，已知PA=6PB=8PC=10，则PD的值为（）A．26B．8C．28D．9得分评卷人610第5题ABCD8第4题6.一个人步行从A地出发，匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去.二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者的速度之比是（）A．2:1B．3:1C．4:1D．5:17.某人月初用x元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加31，即使他每月末都取出1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么x的值是（）A．9000B．10000C．11000D．111008．一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和矩形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如下：如图，两条线段EF、MN将大长方形ABCD分成四个小矩形，已知DE=a，AE=b，AN=c，BN=d，且S1的面积为8，S2的面积为6，S3的面积为5，则阴影三角形的面积为（）A．310B．3C．4D.25二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．若m=12,a是m的小数部分，则a=____________.10．若关于x的不等式组520,30xxa无实数解，则a的取值范围是11．你玩过“数字黑洞”的游戏吗？下面我们就来玩一种数字游戏，它可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写出一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个总相同的数就称为“黑洞数”．请你以20122012为例进行尝试：这个数字游戏的“黑洞数”是(零作为偶数)12．如图，△ABC中，∠Ａ=30°以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝84°，则原三角形的∠B＝____________度。13.如图，正方形ABDE的面积是169平方厘米，正方形CAFG面积是144平方厘米，正方形BCHK的面积是25平方厘米，则阴影四边形AGHP的面积是____平方厘米.得分评卷人BFCANEDMS1S2S3abcd第8题14．在平面直角坐标系中，一动点P（，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.（图①）（图②）（图③）试写出当3≤s5时，y与s之间的函数关系式，当7≤s8时，y与s之间的函数关系式。三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15.已知关于x的方程22(1)6(31)720kxkx的解都是整数，求整数k的值.得分评卷人第12题第13题16．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性.（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；（2）已知正数a、b、c和m、n、l，满足.a+m=b+n=c+l=k.试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cnk217如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=900,AC=BC=1,点M,N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BM=DM，点E在射线NA上，且AE=NA.连接BE,过E作EF⊥BC于点F（1）求BE的长（2）求证：BD⊥DE.得分评卷人得分评卷人MBCADENF18．如图所示，一次函数y=33x的图像与x轴、y轴分别交于点AB，，以线段AB为直角边在第二象限内作RtABC△，且使30ABC．⑴求ABC△的面积；⑵如果在第一象限内有一点32Pm，，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当APB△与ABC△面积相等时m的值；⑶在坐标轴上是否存在点Q，使QAB△是等腰三角形？若存在，请写出所有可能点Q的坐标；若不存在，请说明理由．得分评卷人YXOCBAP2012年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分意见一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）题次12345678答案BBADABDA二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.1210.a21511.12312.81°13.13214.y=4-s(3≤s5);y=s-8(7≤s8)(对一个得3分)三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15.（1）当k2-1=0时，为一元一次方程，把k=±1代入，发现方程都为整数解。------3分（2）当k2-1≠0时，为一元二次方程，得[（k+1）x-12]·[(k-1)x-6]=0,∴x1=12k+1，x2=6k-1,要想使方程的解都是整数，------4分则要同时满足k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12且k-1=±1,±2,±3,±6∴k=2,0,3,-2,-5,综上所述，k=±1,±2,0,3,,-5。(每个k为1分，共5分)16．(12分)解：（1）比如：（a+b）2-（a-b）2=4ab，或（a+b）2=（a-b）2+4ab，或（a+b）2-4ab等．（4分）（2）比如构造如图所示正方形：（若画成a=b=c，m=n=l等特殊情况扣1分）（每构造一个图形得6分）因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k2（2分）．17．(12分)证明:延长BC与ED交于点H,并连接EB∵AM=MC,BM=MD∠AMD=∠CMB∴△AMD△BMC∴∠ADM=∠CBMAD=BC∴AD//BC又NA=AE,故ED=DH∵ΔABC是等腰直角三角形AB=BC=1，则BN=CN=21AN=25AD=1---------------------------------2分MBCADENHFEFBH,则EF//ACEF=2，CF=CN=21-----------------------------------------2分BF=23,利用勾股定理可得BE=25-------------------------------2分而AD=1,由中位线可得NH=2，BH=25------------------------3分BE=BH,又ED=DH----------------------------2分∴BDEH------------------------------------1分即BD⊥DE18．(14分)⑴题意，函数y=33x的图像与x轴、y轴分别交于点AB，，当0y时，x=-1；当0x时，3y，所以点A的坐标是（-1，0）点B的坐标是（0，3），于是222ABOAOB．RtABC△中，30ABC，2AB．设ABx，则2BCx，由勾股定理，得X2+22=(2x)2，得242333xx，所以23123323ABCACSABAC，△．（4分）（2）点P在第一象限内，且32Pm，，则m0，AOBBOPAOPBSSS四边形△△=m3213121=)1(23m．又APBAOPAOPBSSS四边形△△=)1(23m-23121YXOCBAP=)21(43m，由APB△与ABC△的面积相等，得)21(43m=332解得m=65（4分）⑵样的点存在，一共有6个，分别是：以AB为底边的等腰三角形有两个，这时Q点的坐标是(1,0)或303，；（2分）以AB为一条腰的等腰三角形有四个，这时Q点的坐标是032，，(0,)23，03，，(-3,0)．-----------------------------（4分）