2012年四川初中数学竞赛初赛初三

xyBCPQOA2012年四川初中数学竞赛初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1．A2．B3．D4．D5．C6．B二、填空题（每小题7分，共28分）1．22．23．404．24三、（本大题满分20分）如图，一次函数28yx的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C．（I）若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；（II）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值．解：（1）设点A坐标为(,)xy，根据题意得284yxxy，………（5分）解得22422xy或22422xy，所以A点坐标为(22,422)或(22,422)……………………………（10分）（2）设点A坐标为(,)xy，则2(28)28ABOCSxyxxxx…………………………………………（15分）22(2)8x所以当2x时，矩形ABOC面积取得最大值为8．…………………………………（20分）四、（本大题满分25分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且ADDCCB，过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为△ABC外接圆的直径．解：延长AC至E，使CECB，…………………………（5分）则由已知得ADDE，又MDAE，所以MAME，…………………………（10分）所以MEAMACMBC，又由CECB得CEBCBE，所以MEBMBE，………………………………（15分）所以MBME，EDBAMNC所以MAMB，………………………………………（20分）所以M为优弧AB的中点，又因为MNAB，所以MN为△ABC外接圆的直径．……………………………（25分）五、（本大题满分25分）已知方程组2xyzxyyzzxaxyza的所有各组解(,,)xyz都是由正实数组成的,其中a是参数．试求a的取值范围．解：由2xyz得2xyz①xyza得xyza②，又()xyyzzxxyxyza③，将①②代入③得(2)zazza，化简得20zz…………………………（5分）此方程的两个根为0z和1z．因,,xyz都是正实数，所以1z．……………………………………………………（10分）将1z代入①②得11xyxya，因此,xy是下面辅助方程的两个根2(1)0nna④．…………………………………………………………………（15分）因为,xy是实数，所以214(1)0a54a．……………………………………………………………………………………（20分）因为,xy都是正数，所以10a，即1a因此可得a的取值范围是514a．……………………………………………………（25分）