2013第24届希望杯全国数学竞赛初二决赛试题与答案

第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试2013年4月15日上午8：30至10：30一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）（A）正方形（B）矩形C）菱形（D）梯形2、设a、b、C是不为零的实数，那么||||||abcxabc的值有（）（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种3、ABC的边长分别是21am，21bm，20cmm，则ABC是（）（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）（A）是2019年，（B）是2031年，（C）是2043年，（D）没有对应的年号5、实数a、b、m、n满足ab,-1nm,若1ambMm，1anbNn，则M与N的大小关系是（）（A）MN(B)M=N(C)MN(D)无法确定的。6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是（）（A）214cm（B）242cm（C）249cm（D）264cm图27cmDCBA7、已知关于x的不等式组230320axax恰有3个整数解，则a的取值范围是（）（A）23≤a≤32(B)43≤a≤32(C)43＜a≤32(D)43≤a＜328、Thenumberofintersectionpointofthegraphsoffunction||kyxandfunction(0)ykxkis()(A)0(B)1(C)2(D)0or2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（）（A）16小时（B）7158小时（C）151516小时（D）17小时图3y=m/ty=ktOt（小时)y(毫克)4321110、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（）（A）48人（B）45人（C）44人（D）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知abco为ABC三边的长，则化简|abc|+2()abc的结果是＿＿＿12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。13、若不等式组2123xaxb中的未知数x的取值范围是11x，那么（1a）（1b）的值等于＿＿＿14、已知123aaa…2007a是彼此互不相等的负数，且122006232007()()Maaaaaa，122007232006()()Naaaaaa那么M与N的大小关系是M＿＿N15、∣acbd|叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿。16、如图4，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0。7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了＿＿米。17、XiaoMingsaystoXiaoHuathatmyageaddyourage.addyouragewhenLwasyourageis48.TheageofXiaoHuais＿＿now.(英汉词典：age年龄：add加上；when当……时)18、长方体的长、宽、高分别为正整数abc，且满足2006abcabbcacabc，那么这个长方体的体积为＿＿。19、已知a为实数，且26a与126a都是整数，则a的值是＿＿。20、为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文→密文（加密）。现规定英文26个字母的加密规则是：26年字母按顺序分别对应整数0到25，例子如，英文abcd，写出它们的明文（对应整数0，1，2，3），然后将这4个字母对应的整数（分别为1.2,3,4xxxx）按1231112323xxxxxx计算，得到密文，即abcd四个字母对应的密文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为＿＿＿。三、解答题（本大题共3小题，共40分）要求：写出推算过程21、（本题满分10分）如图5，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离（2）大六角星形的面积（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）22、（本题满分15分）甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？图6乙甲4830O2.41.0t/小时s/千米23、（本题满分15分）平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？答案：一、选择题（每小题4分）题号12345678910答案CBCDACBDCA二、填空题（每小题4分，第15小题，每个空2分；第19小题，答对一个答案2分）题号1112131415答案2c42.0071066;14题号1617181920答案2.516888526或526hope三、解答题21（1）连接CO，易知△AOC是直角三角形，90,30ACOAOC所以22AOACa（2）如图1，大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍因为2222()()22AMaAM解得233AMa所以大六角星形的面积是2123124323Saaa（3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以，大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：322．（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为skt将(2.4,48)代入，解得20k所以20st由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当30s千米时，301.52020st（小时）。即甲车出发1.5小时后被乙车追上（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为sptm将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得0301.5pmpm，解得6060pm所以6060st当乙车到达B地时，48s千米。代入6060st，得1.8t小时又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为30stn将（1.8，48）代入，得48301.8n，解得102n所以30102st当甲车与乙车迎面相遇时，有3010220tt解得2.04t小时代入20st，得40.8s千米即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇（3）当乙车返回到A地时，有301020t解得3.4t小时甲车要比乙车先回到A地，速度应大于48483.42.4（千米/小时）23．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段69272（条）（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段1[2(34)3(24)4(23)]262（条）（3）设第一组有a个点，第二组有b个点，第三组有c个点，则平面上共有线段1[()()()]2abcbaccababbcac（条）若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为(1)(1)(1)(1)1abbcacabbccaab与原来线段的条数的差是1ab，即当ab时，10ab，此时平面上的线段条数不减少当ab时，10ab此时平面上的线段条数一定减少由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多设三组中都有x个点，则线段条数为23192x解得8x所以平面上至少有24个点