2013高考数学精讲精练第08章 直线和圆的方程

2013高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.3．熟练运用待定系数法求圆的方程．4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．点中点坐标两点间距离圆位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系方程形式标准方程一般方程点到直线的距离直线直线斜率与倾斜角两条直线位置关系平行相交垂直方程形式点斜式斜截式两点式截距式一般式点与直线位置关系直线与圆的方程空间直角坐标系第1课直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.【基础练习】1.直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角范围是50,,662.过点)3,2(P，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是10320或xyxy3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为42或yxyx4.无论k取任何实数，直线14232140kxkyk必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）【范例导析】例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m31,313，求直线AB的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．当m≠－1时，11km，（2）当m=－1时，AB：x=－1，当m≠1时，AB：1211yxm.（3）①当m=－1时，2；②当m≠－1时，∵13,3,13km∴2,,6223故综合①、②得，直线AB的倾斜角2,63点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.分析：引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.解（1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-1k,0),B(0,1-2k),且2-1k0,1-2k0,即k0.△AOB的面积S=12(1-2k)(2-1k)=12[(-4k)+1k+4]≥4,当-4k=1k,即k=12时,△AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).分别令y=0和x=0,得A(2-1k,0),B(0,1-2k),∴|PA|·|PB|=222211(44)(1)84()4kkkk,当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|·|PB|取得最小值4.又k0,∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,2),且|PA|·|PB|=||||44sincossin2PEPF当且仅当θ=4时,|PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1,直线l的方程是x+y-3=0.点评①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有4303(2)5(4)50abab，解得25ab直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.解法二由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝nm，∵A,B两点分别l1和l2上，∴4(1)(2)303(1)5(2)50mnmn，消去常数项得－3m＝n，yxOPEFBA例2图所以k＝－3，从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。【反馈练习】1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程ax+by＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④2.设直线l的方程为232603xkykk,当直线l的斜率为-1时，k值为__5__,当直线l在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或33.设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足的关系式为0ba4.若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是)2,6(5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为c1，则c的值为516．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是112，7.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解：∵P（2，3）在已知直线上，∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即2121aabb=－32∴所求直线方程为y－b1=－32（x－a1）∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0点拨：1.由已知求斜率;2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.8.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝41，tanθ＝tan2α＝158，从而方程为8x－15y+6=0（2）设直线方程为ax＋by＝1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得a3＋b2＝1≥2ab6，得ab≥24，从而S△AOB＝21ab≥12，此时a3＝b2，∴k＝－ab＝－32点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值第2课两条直线的位置关系【考点导读】1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易.【基础练习】1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-82.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=03.若三条直线2380,xy10xy和102xkyk相交于一点，则k的值等于12.【范例导析】例1.已知两条直线1l:x+m2y+6=0,2l:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,1l与2l（1）相交；（2）平行；（3）重合？分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0时，1l：x＋６＝０，2l：x＝０，∴1l∥2l，当ｍ＝2时，1l：x＋４y＋６＝０，2l：３y＋２＝０∴1l与2l相交；当m≠０且m≠２时，由mmm3212得m＝－１或m＝３，由mm2621得m＝3故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时1l与2l相交。（２）m＝－１或m＝０时1l∥2l，（３）当m＝３时1l与2l重合。点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.例2.已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线1l：x+y+1=0和2l：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。分析：可以求出直线l与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率解法一：:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与1l、2l的交点分别是A1（3，-4）和B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k（x-3）+1，解方程组1031xyykx得A（,123kk－114kk）解方程组6031xyykx得B（173kk，－119kk）由|AB|=5得2323711kkkk+2419111kkkk=25，解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。综上可知，所求l的方程为x=3或y=1。解法二.设直线l与1l、2l分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5①又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25②联立①②，可得121250xxyy或121205xxyy由上可知，直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.【反馈练习】1.已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线xy21，则l的方程是22xy2.若直线3)1(yaax与5)32()1(yaxa互相垂直，则a-3或13.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___.4.已知20，且点)cos,1(到直线1cossinyx的距离等于41，则等于65.经过直线0732yx与01157y