2013年“实中杯”七年级数学竞赛试卷

BAC2013年“实中杯”七年级数学竞赛试卷（完卷时间：90分钟满分：100分）考生须知1．本试卷共4页，共三道大题，23道小题，满分100分，考试时间90分钟；2．用黑色字迹的水笔或钢笔作答，解答书写时不要超过装订线；3．本试卷不允许使用计算器。一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．设A、B、C、D为大于零的整数，满足算式14.451212ABCD，那么A+B+C+D=（）A．9B．10C．11D．122．若a为正整数，且25ax，则324(2)4aaxx的值为（）A．5B．52C．25D．103．若01a，21b，则1212abababab的值是（）A．0B．－1C．－3D．－44．若a+b＜0，ab＜0，则下列式子成立的是（）A．a0，b＜0且a≠bB．a＜0，b＞0且a＜bC．a＜0＜b，且－a＞bD．a＞0,b＞0且b＜a5．已知有理数,,,ABxy满足0AB，():()(2):()ABABxyxy，那么:()AAB（）A．3:(2)xxyB．3:(42)xxyC．:()xxyD．2:(2)xxy6．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角(即∠BAC)等于（）A．600B．750C．900D．1350班级姓名――――――――――――――――――――密―――――――――――――――封―――――――――――线―――――――――――――――DCBA．(第8题)DCBAA'B'E(第7题图)(第12题)AZABZACZADZAEZA(第17题)S4S1S2S37．如图，把ABC绕点C顺时针旋转25度，得到A′B′C，A′B′交AC于D，已知∠A′DC＝80度，若AB与A′B′交于点E，则∠BEA′的度数是()A．135度B．145度C．155度D．165度8．如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）9．在代数式zxy2中，若x与y的值各减少25%，z的值增加25%，则代数式的值（）A.减少21B.减少43C.减少256135D.减少25612110．QQ空间是一个展示自我和沟通交流的网络平台．它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等．QQ空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490……若某用户的空间积分达到1000，则他的等级是（）A．18B．17C．16D．15二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）11．若32012x，32013y，则3xy．12．如图，E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，AB=8，BE=4，BD所在圆的圆心是C，则图中阴影部分的面积是．（3.14）13．若a=2009，b=2010，则ab3b2a22．14．从3点15分开始到时针与分针第一次成30°角，需要的时间是分．15．已知数轴上的点A到原点的距离是2个单位长度，那么数轴上到A点的距离是3个单位长度的点所表示的数有个．16．7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱，则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨公斤．17．如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形，如果S1＝75cm2，S2＝15cm2，那么大正方形的面积是S＝_____________cm2．(第18题)18．如图有一长条型链子，其外型由边长为1cm的正六边形排列而成。其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻。若链子上有35个黑色六边形，则此链子有个白色六边形．三、解答题：（第19、20题，每小题7分，第21、22、23题，每小题8分，满分38分）)19．已知a、b、c为实数，且111456abbccaabbcca，，求abcabbcca的值.20．已知(2013)(2011)2012mm.求：22(2013)(2011)mm的值.21．已知关于x、y的二元一次方程(3)(25)60axaya当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解.（1）求出这个公共解；（2）请说明，无论ａ取何值，这个公共解都是二元一次方程(3)(25)60axaya的解.22．如图，已知线段AB=a，点P是线段AB上的一个动点，且不与点A、点B重合，分别以AP、BP为直径在线段AB的同侧作两个半圆。1）设AP=x，求两个半圆的面积之和S1（用a、x的代数式表示）；2）当点P是AB的中点时，求两个半圆的面积之和S2（用a或x的代数式表示）；3）比较上述2个问题中S1和S2的大小，并说明理由.23．已知1x，2x，3x，…，nx中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足1217nxxx，2221237nxxx，求33312nxxx的值.APB―――――――――――――――――密―――――――――――――――封――――――――――――――线――――――――――――――2013年“实中杯”七年级数学竞赛试卷（参考答案）（完卷时间：90分钟满分：100分）19．已知a、b、c为实数，且111456abbccaabbcca，，求abcabbcca的值.解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：111111456abbcca，，三式相加除以2得：111152abc因为111152abbccaabcabc，所以215abcabbcca20．已知(2013)(2011)2012mm.求22(2013)(2011)mm的值.答案：402821．已知关于x、y的二元一次方程(3)(25)60axaya当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解.（1）求出这个公共解；（2）请说明，无论ａ取何值，这个公共解都是二元一次方程(3)(25)60axaya的解.解：（1）这个解为73xy（2）∵把(3)(25)60axaya化为下面的形式；0653)12(yxayx2103560xyxy得73xy∴无论ａ取何值，这个公共解都是二元一次方程(3)(25)60axaya的解22．如图，已知线段AB=a，点P是线段AB上的一个动点，且不与点A、点B重合，分别以题号12345678910答案AACCBACBDB题号1112131415161718答案2012201334.2420111175418108142AP、BP为直径在线段AB的同侧作两个半圆。1）设AP=x，求两个半圆的面积之和S1（用a、x的代数式表示）；2）当点P是AB的中点时，求两个半圆的面积之和S2（用a或x的代数式表示）；3）比较上述2个问题中S1和S2的大小，并说明理由.解：（1）221448Sxaxa（2）2216Sa或24x（3）2121()42SSxa当P不是AB中点时，即12xa时,得21()042xa，此时12SS当P是AB中点时，,即12xa时,得21()042xa，此时12SS23．已知1x，2x，3x，…，nx中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足1217nxxx，2221237nxxx，求33312nxxx的值.解：设有p个x取1，q个x取－2，有217437pqpq，解得19pq所以原式＝33119(2)71不为1的有理数，我们把a11称为a的差倒数．．．．如：3的差倒数是311=－21，－1的差倒数是)1(11=21．已知a1=4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则2012a=13APB