2013年湖南高考数学(理科)试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3.在锐角中ABC，角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于A．12B．6C．4D．34.若变量,xy满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是A．5-2B．0C．53D．525.函数2lnfxx的图像与函数245gxxx的图像的交点个数为A．3B．2C．1D．06.已知,ab是单位向量，0ab.若向量c满足1,cabc则的取值范围是A．2-1,2+1，B．2-1,2+2，C．1,2+1，D．1,2+2，7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A．1B．2C．2-12D．2+128.在等腰三角形ABC中，=4ABAC，点P是边AB上异于,AB的一点，光线从点P出发，经,BCCA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等于A．2B．1C．83D．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy中，若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay为参数过椭圆()为参数的右顶点，则常数a的值为.10.已知222,,,236,49abcabcabc则的最小值为.11.如图2，在半径为7的O中,弦,,2,ABCDPPAPB相交于点1PDO，则圆心到弦CD的距离为.（一）必做题（12-16题）12.若209,TxdxT则常数的值为.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的的值为.14．设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30，则C的离心率为___。15．设nS为数列na的前n项和，1(1),,2nnnnSanN则（1）3a_____；（2）12100SSS___________。16．设函数(),0,0.xxxfxabccacb其中（1）记集合(,,),,Mabcabca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,,)abcM所对应的()fx的零点的取值集合为____。（2）若,,abcABC是的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①,1,0;xfx②,,,xxxxRxabc使不能构成一个三角形的三条边长；③若1,2,0.ABCxfx为钝角三角形，则使三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos().()2sin632xfxxxgx。（I）若是第一象限角，且33()5f。求()g的值；（II）求使()()fxgx成立的x的取值集合。18．（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱1111//ABCDABCDADBC中，，190,,1,3.BADACBDBCADAA（I）证明：1ACBD；（II）求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径1231MMMMNMNN与路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点(3,20),(10,0),(14,0)ABC处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)Expyp的焦点F作斜率分别为12,kk的两条不同的直线12,ll，且122kk，1lE与相交于点A，B，2lE与相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。（I）若120,0kk，证明；22FMFNP；（II）若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程。22．（本小题满分13分）已知0a，函数()2xafxxa。（I）；记()0,4fxa在区间上的最大值为g(),求ag()的表达式；（II）是否存在a，使函数()yfx在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。