2013年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题

2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2013年吉林省高中数学联赛试题（2013年5月19日星期日上午8:30---11：00）题号一二三（12）三（13）三（14）三（15）总分得分评卷人复核人考生注意：本试卷共计4页，15道题，满分150分得分一、选择题（本题满分30分，每小题6分）本题共有5个小题，每小题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或多选一律得0分.1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．23B．83C．2343D．3232．已知函数)0)(6cos()3sin(2)(xxxf的最小正周期为，则的值为（）A．4B．2C．21D．413．已知函数()([0,1])fxaxbx，则“20ab”是“()0fx恒成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件4．若函数()yfx图像上的任意一点P的坐标(,)xy满足条件||||yx，则称函数()fx具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．()1xfxeB．()ln(1)fxxC．()sinfxxD．()tanfxx2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第1页（共4页）市（区、县）学校姓名性别准考证号_________________________（密封装订线内不要答题）222侧（左）视图222正（主）视图俯视图5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为3的概率为()A．21B．31C．41D．61得分二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）请将答案写在题中横线上，各小题只要求直接写出结果.6．已知函数)0)(4cos()(AxAxf在)8,0(上是减函数，则的最大值是.7．三棱锥ABCS中，90ACBSACSAB，13,2BCAC,29SB.则直线SC与AB所成角的余弦值为_____________.8．椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆半径等于椭圆焦距的66，则椭圆的离心率为______．9．设,ab为两个非零向量，且2,22aab，则abb的最大值是_____．10．对于数列{}na，如果存在一个数列{}nb，使得对于任意的nN，都有nnab，则把{}nb叫做{}na的“弱数列”.设3222nanntnt，32524nbnnn，()nN,且{}nb是{}na的“弱数列”，则实数t的取值范围是．11．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为_______________．2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第2页（共4页）ACD(P)DCBA得分三、解答题（本题共4道大题，其中12题15分，13、14、15题每题25分，满分90分）12．已知正数数列}{na的前n项和为nS，且满足：022nnnSaa，，nnbanc（1）求数列}{na的通项公式；（2）若),2(021*11，，NnnbbbnnnnTnc项和的前求：数列；（3）是否存在整数m、M，使得MTmn对任意正整数n恒成立，且4mM？说明理由.13．已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0bCbCac.（1）求证,,ABC成等差数列；（2）若3b，求2ac+的最大值.2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第3页（共4页）14．（1）已知10x，求证：xxx22834；（2）已知0,,zyx且1zyx,求zyxzyxf242),,(的最大值和最小值.15．求方程0)(22233zyxyxyx的所有非负整数解.2013年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第4页（共4页）（密封装订线内不要答题）