2013年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题

2013年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷(2013年3月31日星期日上午8:30–10:30)注意事项:1.解答本试卷不得使用计算器一.填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)1.若在区间[2;3]上,函数f(x)=x2+bx+c与g(x)=x+6x在同一点取相同的最小值,则函数f(x)在[2;3]上的最大值是.2.若a;b;c;d为整数,且alg2+blg3+clg5+dlg7=2013,则有序数组(a;b;c;d)=.3.已知函数y=√(x22)2+(x5)2+√(x23)2+x2,则该函数的最小值是.4.已知线段x+y=9(x0;y0)分别与y轴,指数函数y=ax的图像,对数函数y=logax的图像,x轴交于点A;B;C;D,其中a0,a̸=1.若中间两点恰好三等分线段AD,则a的值是.5.如图,已知椭圆C:x225+y2=1和⊙O:x2+y2=1,在椭圆内,且在⊙O外的区域内(包括边界)所含圆的最大半径是...x.y.O6.关于m;n的方程1m+1n1mn2=34的整数解(m;n)=.7.袋中有6只红球与8只白球,任意抓5只放入一个A盒中,其余9只球放入一个B盒中,则A盒中白球个数加B盒中红球个数之和不是质数的概率是(用数字作答).8.若在集合f1!;2!;3!;:::;99!;100!g中删去一个元素后,余下元素的乘积恰好是一个完全平方数,则删去的这个元素是.1二.解答题(本题满分60分)9.(本大题共12分)正整数列fang的前n项和为bn,数列fbng的前n项积为cn,且bn+2cn=1(n2N),求数列{1an}中最接近2013的数.10.(本大题共12分)已知正数p及抛物线C:y2=2px(p0),A(p6;0)为抛物线C对称轴上一点,O为抛物线C的顶点,M为抛物线C上任意一点,求jOMjjAMj的最大值.211.(本大题共18分)已知不等式k(ab+bc+ca)5(a2+b2+c2)..........................()(1)若存在正数a;b;c,使不等式()成立,求证:k5;(2)求所有满足下列条件的整数k:存在正数a;b;c使不等式()成立,且凡使不等式()成立的任意一组正数a;b;c都是某个三角形的三边长.312.(本大题共18分)已知棱长为1的正方体ABCDEFGH(如图),P为它的8个顶点构成的集合,对n2N,规定2n+1个有序顶点组(A0A1A2:::A2n)满足A0=A,且对每个i2f0;1;2;:::;2n1g,Ai+1与Ai是P中的相邻顶点.(1)求顶点A2n所有可能的位置;(2)设S2n表示A2n=C的所有2n+1个有序顶点组(A0A1A2:::A2n)的个数,求S2n...A.B.C.D.E.F.G.H4