2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．若在区间2,3][上，函数cbxxxf2)(与xxxg6)(在同一点取相同的最小值，则函数)(xf在2,3][上的最大值是．2．若dcba,,,为整数，且20137lg5lg3lg2lgdcba，则有序数组),,,(dcba=．3．已知函数222222)3()5()2(xxxxy，则该函数的最小值是．4．已知线段9yx（0,0yx）分别与y轴，指数函数xay的图像，对数函数xyalog的图像，x轴交于点DCBA,,,，其中1,0aa，若中间两点恰好三等分线段AD，则a的值是．5．如图，已知椭圆C：12522yx和⊙O：122yx，在椭圆内，且在⊙O外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是．6．关于nm,的方程431112mnnm的整数解),(nm=．7．袋中有6只红球与8只白球,任意抓5只放入一个A盒中，其余9只球放入一个B盒中，则A盒中白球个数加B盒中红球个数之和不是质数的概率是(用数字作答)．8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1!中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是．二、解答题9．（本题满分12分）正整数列}{na的前n项和为nb，数列}{nb的前n项积为nc，且12nncb（*Nn），求数列}1{na中最接近2013的数．10．（本题满分12分）已知正数p及抛物线C：pxy22（0p），)0,6(pA为抛物线C对称轴上一点，O为抛物线C的顶点，M为抛物线C上任意一点，求||||AMOM的最大值．11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222cbacabcabk（1）若存在正数cba,,，使不等式)(成立，求证：5k；（2）求所有满足下列条件的整数k：存在正数cba,,使不等式)(成立，且凡使不等式)(成立的任意一组正数cba,,都是某个三角形的三边长．12．（本题满分18分）已知棱长为1的正方体ABCDEFGH（如图），P为它的8个顶点构成的集合，对*Nn规定12n个有序顶点组)(2210nAAAA满足AA0，且对每个}12,,2,1,0{ni，1iA与iA是P中的相邻顶点．（1）求顶点nA2所有可能的位置；（2）设nS2表示CAn2的所有12n个有序顶点组)(2210nAAAA的个数,求nS2．