2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案

2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案（考试时间：2014年6月21日上午10：00－11：20）题号一二合计91011得分评卷人复核人注意事项：1．本试卷共二大题，全卷满分120分。2．用圆珠笔或钢笔作答。3．解题书写不要超过装订线。4．不能使用计算器。一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．设集合2,1,02BaxxA，满足BA，则实数a的所有可能取值为．解：当A时，0a；当A时，2Aa，21a或2，即2a或1故应填1,0,2．2．袋中装有大小、形状相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，刚好摸到3个红球的概率是．解：31151314181351CCPC，故应填1351．3．复数Nnin62321的值是．解：6613cossincos2sin212233nniinin，故应填1．4．已知.11,31yxyx则yx322的最大值是．解：令2233xyb，则223yxb当2,1xy时，2max235xy，故应填5．xyOb5．已知各项均为正数的等比数列na满足：343,1432132aaaaa，则数列na的通项公式为．解：2312314,343.aaaaa，即21133114,343.aqaqaq，解之17,33.aq112173733nnnnaaq，故应填273nna．6．已知为锐角，向量1,1,sin,cosba满足322ba，则125sin．解：220cossin3ab，即2cos43，且04245sin1cos14493．5sinsinsincoscossin124646465321151323263，故应填15163．7．若方程0222axyxyx表示两条直线，则a的值是．解：令2222xxyyxaxymxyn，则120mnnmmna，解之132329mna，故应填29．8．已知21221ba，其中a和b为正整数，则b与27的最大公约数是．解：令121222nnna，则11122,1,2nnnaaaaa，23831nnnnaaa，221778323mod27baaa，21,27,2723,271ba，故应填1．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）矩形ABCD中，4,2ADAB，FE,分别在BCAD,上，且3,1BFAE，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．求二面角FDEA的大小．解：如图1，延长FEBA、相交于点O,连结OH，过A作AGOH,垂足为G,则AGCDEF平面，过G作GQEH，垂足为Q，连结AQ，则由三垂线定理可得AQEH，AQG为二面角ADEG的平面角．AGE与BHF关于点O位似，位似比为13，2GHOG，3BHAG.得分评卷人FEDCABBHEDCAFQGHPOFEDCAB图2OBHEDCAFPGQ图1如图2，322OFBP，2291522PHPEBEBP；如图1，2291222BHBPPH，23AG，又图2知23GQ，即AGGQ，于是4AQG，故二面角FDEA的大小为34．10．（本题满分20分）过椭圆11625:22yxC的右焦点F作直线交椭圆C于BA、两点，已知8AB，试求直线AB的方程．解：令1122,,,AxyBxy，直线AB的斜率为k，则221122221251612516xyxy两式相减并整理得12121625yykxx由1232532585353ABAFBFxx得12103xx又121232152106332yykkxx解得255k若k不存在，则3285AB不合题意，故所求直线AB的方程为2535yx．得分评卷人11．（本题满分20分）已知不等式enan11对任意正整数n都成立，试求实数a的取值范围．解：由enan11得11ln1ann，令101ln1fxxxx，则222211111'1111ln1ln1xxfxxxxx，利用不等式2110ln10xxxx得'0fx，从而101ln1fxxxx是减函数，令11tx，则11xt，11111111ln11limlimlimlimlim11lnlnlnln1ln1xttttttttfxtttttttttt111limln112tt．故实数a的取值范围为12a．（珠海市第一中学傅乐新提供及解答）得分评卷人