2015年高考福建省理数卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）第I卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合234,,,Aiiii（i是虚数单位），1,1B，则AB等于A.1B.1C.1,1D.2、下列函数为奇函数的是A.yxB.sinyxC.cosyxD.xxyee3、若双曲线22:1916xyE的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybxa，其中ˆˆˆ0.76,baybx，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、若变量,xy满足约束条件20,0,220,xyxyxy则2zxy的最小值等于A.52B.2C.32D.26、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为A.2B.1C.0D.17、若,lm是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“//l”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8、若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于A.6B.7C.8D.99、已知1,,ABACABACtt，若P点是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABAC，则PBPC的最大值等于A.13B.15C.19D.2110、若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是A.11fkkB.111fkkC.1111fkkD.111kfkk第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11、52x的展开式中，2x的系数等于.（用数字作答）12、若锐角ABC的面积为103，且5,8ABAC，则BC等于.13、如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数2fxx，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于.14、若函数6,2,3log,2,axxfxxx（0a且1a）的值域是4,，则实数a的取值范围是.15、一个二元码是由0和1组成的数字串*12nxxxnN，其中1,2,,kxkn称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127xxx的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,xxxxxxxxxxxx其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于.16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEG，BE^EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF平面ADE(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.已知椭圆E：22221(a0)xybab+=过点(0,2），且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1xmymR=-?，()交椭圆E于A，B两点，判断点G9(4-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.已知函数f()x的图像是由函数()cosgxx=的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(1)求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f()g()xxm+=在[0,2)p内有两个不同的解,ab1)求实数m的取值范围；2)证明：22cos)1.5mab-=-(20.已知函数f()ln(1)xx=+，(),(k),gxkxR=?(1)证明：当0xxx时，f()；(2)证明：当1k时，存在00x,使得对0(0),xxÎ任意，恒有f()()xgx；(3)确定k的所以可能取值，使得存在0t，对任意的(0),xÎ，t恒有2|f()()|xgxx-.21.本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2111,.4301AB骣骣琪琪==琪琪-桫桫(1)求A的逆矩阵1A-；(2)求矩阵C，使得AC=B.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为13cos(t)23sinxtytì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为2sin()m,(mR).4prq-=?(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.选修4-5：不等式选讲已知函数()||||fxxaxbc=++++的最小值为4.(1)求abc++的值;(2)求2221149abc++的最小值为.数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。1.C2.D3.B4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。11.8012.713.51214.(1,2]15.5三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分13分解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则5431(A)=6542P=创（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653PPP==?=创所以X的分布列为所以1125E(X)1236632=???.17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，1GHABGH=AB2所以，且，又F是CD中点，1DF=CD2所以，由四边形ABCD是矩形得，ABCDAB=CD，，所以GHDFGH=DF，且.从而四边形HGFD是平行四边形，GFDH所以，又DHADEGFADE趟平面，平面，所以GFADE平面.(2)如图，在平面BEG内，过点B作ECBQ,因为BECEBQBE^^，所以又因为AB^平面BEC，所以AB^BE，AB^BQ以B为原点，分别以,,BEBQBA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)因为AB^平面BEC，所以A=(B0,0,2)为平面BEC的法向量，设(x,y,z)n=为平面AEF的法向量.又AE(2,0,-2)AF=(2,2,-1)=，由AE0220,220,AF0nxzxyznìì=-=镲眄+-=镲=îî，得，取2z=得=(2,-1,2)n.从而A42cos,A=,323|||A|nBnBnB狁==´×所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为23.解法二：(1)如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GMAE，又ADEGMADEAE趟平面，平面，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦＡＤ．又ADEMADEA趟Ｄ平面，Ｆ平面，所以MADEＦ平面．又因为MÇＧＭＦ＝Ｍ，M烫ＧＭ平面ＧＭＦ，Ｆ平面ＧＭＦ所以平面ＧＭＦ平面ＡＤＥ，因为ÌＧＦ平面ＧＭＦ，所以ＧＦ平面ＡＤＥ（２）同解法一．18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分解法一：(1)由已知得222222222bacbacabcì=ïì=ïï镲==眄镲镲=î=+ïî解得所以椭圆E的方程为22142xy+=.(2)设点1122(y),B(,y),AxxAB中点为00H(,y)x.由22221(m2)y230,142xmymyxyì=-ïï+--=íï+=ïî得所以12122223y+y=,yy=m2m2m++，从而022ym2=+.所以222222200000095525GH|()y(my)y(m+1)y+my+44216x=++=++=.22222121212()(y)(m+1)(y)|AB|444xxyy-+--==22221212012(m+1)[(y)4y](m+1)(yy)4yyy+-==-,故222222012222|AB|52553(m+1)25172|GH|my(m+1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=++=-+=+++所以|AB||GH|2，故G9(4-,0)在以AB为直径的圆外.解法二：(1)同解法一.(2)设点1122(y),B(,y),Axx，则112299GA(,),GB(,).44xyxy=+=+由22221(m2)y230,142xmymyxyì=-ïï+--=íï+=ïî得所以12122223y+y=,yy=m2m2m++，从而121212129955GAGB()()(my)(my)4444xxyyyy=+++=+++22212122252553(m+1)25(m+1)y(y)4162(m2)m216mymy=+++=-+++22172016(m2)m+=+所以cosGA,GB0,GAGB狁又，不共线，所以AGBÐ为锐角.故点G9(4-,0)在以AB为直径的圆外.19.本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想.满分13分.解法一：(1)将()cosgxx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cosx=的图像，再将y2cosx=的图像向右平移2p个单位长度后得到y2cos()2xp=-的图像，故f()2sinxx=从而函数f()2sinxx=图像的对称轴方程为(kZ).2xkpp=+?(2)1)21f()g()2sincos5(sincos)55xxxxxx+=+=+125sin()(sin,cos55xjjj=+==其中)依题意，sin()=5mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解,ab当且仅当||15m，故m的取值范围是(5,5)-.2)因为,ab是方程5sin()=mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m