2015年高考文科数学专题复习题：专题三　--- 第1讲 等差、等比数列的基本问题

专题三数列第1讲等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()．A.13B．－13C．19D．－19解析设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝19.答案C2．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于()．A．9B．10C．11D．12解析设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝12.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案C3．在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2013＋a2014a2011＋a2012等于()．A．3或－1B．9或1C．1D．9解析依题意，有3a1＋2a2＝a3，即3a1＋2a1q＝a1q2，解得q＝3，q＝－1(舍去)，a2013＋a2014a2011＋a2012＝a1q2012＋a1q2013a1q2010＋a1q2011＝q2＋q31＋q＝9.答案D4．(2014·郑州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是()．A.3B．－3C．±3D．±3解析依题意得，a4＋a8＝4，a4a8＝3，故a40，a80，因此a60(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6＝a4a8＝3.答案A5．(2014·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2014的值等于()．A．－2011B．－2012C．－2014D．－2013解析根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11＝a1＝－2014，公差d＝1，故S20142014＝－2014＋(2014－1)×1＝－1，所以S2014＝－2014.答案C6．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()．A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但ann＝1＋1n是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案D7．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()．A．3B．4C．5D．6解析由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋mm－12d＝0，故a1＝－m－12，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案C二、填空题8．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an＝________.解析当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，所以anan－1＝－2，∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故an＝(－2)n－1.答案(－2)n－19．(2013·北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析由题意q＝a3＋a5a2＋a4＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.答案22n＋1－210．(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________.解析先求出数列的周期，再进一步求解首项，∵an＋1＝11－an，∴an＋1＝11－an＝11－11－an－1＝1－an－11－an－1－1＝1－an－1－an－1＝1－1an－1＝1－111－an－2＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝11－a1，∴a1＝12.答案1211．设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析设公差为d，由a1，a3，a6成等比数列，可得(1＋2d)2＝1×(1＋5d)，解得d＝14，所以Sn＝n＋nn－12×14＝18n2＋78n.答案18n2＋78n12．(2014·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解．等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋nn－12d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－12.答案－12三、解答题13．(2014·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝a4－a13＝12－33＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1.14．(2013·浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.解(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋212n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝12n2－212n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－12n2＋212n，n≤11，12n2－212n＋110，n≥12.15．(2014·杭州模拟)已知数列{an}是首项为133，公比为133的等比数列，设bn＋15log3an＝t，常数t∈N*.(1)求证：{bn}为等差数列；(2)设数列{cn}满足cn＝anbn，是否存在正整数k，使ck，ck＋1，ck＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由．(1)证明an＝3－n3，bn＋1－bn＝－15log3an＋1an＝5，∴{bn}是首项为b1＝t＋5，公差为5的等差数列．(2)解cn＝(5n＋t)·3－n3，则ck＝(5k＋t)·3－k3，令5k＋t＝x(x0)，则ck＝x·3－k3，ck＋1＝(x＋5)·3－k＋13，ck＋2＝(x＋10)·3－k＋23.①若c2k＝ck＋1ck＋2，则x·3－k32＝(x＋5)·3－k＋13·(x＋10)·3－k＋23.化简得2x2－15x－50＝0，解得x＝10，x＝－52(舍去)；进而求得k＝1，t＝5；②若c2k＋1＝ckck＋2，同理可得(x＋5)2＝x(x＋10)，显然无解；③若c2k＋2＝ckck＋1，同理可得13(x＋10)2＝x(x＋5)，方程无整数根．综上所述，存在k＝1，t＝5适合题意．新课标第一网系列资料