2015年高考文科数学专题复习题：专题五　--- 第3讲 圆锥曲线的热点问题

第3讲圆锥曲线的热点问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·金华模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，5)D．(1，5]解析因为双曲线的渐近线为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1e≤2.答案B2．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离等于()．A.74B．2C．94D．4解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝kx－14，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点14，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋12＝4，故x1＋x2＝72，则弦AB的中点横坐标是74，弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案C3．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则|AB|·|CD|的值正确的是()．A．等于1B．最小值是1C．等于4D．最大值是4解析设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线定义|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝y214·y224＝()y1y2216，而y1y2＝－4，代入上式，得|AB|·|CD|＝1.故选A.答案A4．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0b2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为()．A．1B．2C．4D．8解析不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝12×2b×4－b2＝b4－b2＝b24－b2≤b2＋4－b22＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案B5．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则|AF||BF|的值等于()．A．5B．4C．3D．2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，易知直线AB的方程为y＝3x－32p，代入抛物线方程y2＝2px，可得x1＋x2＝53p，x1x2＝p24，可得x1＝32p，x2＝p6，可得|AF||BF|＝x1＋p2x2＋p2＝3p2＋p2p6＋p2＝3.答案C6．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是()．A．(0，＋∞)B．13，＋∞C.15，＋∞D．19，＋∞解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1r2,2r2r1，∴2c10,2c＋2c10，∴52c5⇒125c24，∴e2＝2c2a双＝2cr1－r2＝2c10－2c＝c5－c；e1＝2c2a椭＝2cr1＋r2＝2c10＋2c＝c5＋c.∴e1·e2＝c225－c2＝125c2－113.答案B7．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()．A.433B．233C．3D．2解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosπ3，得4c2＝r21＋r22－r1r2.由r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2得r1＝a1＋a2.r2＝a1－a2，∴1e1＋1e2＝a1＋a2c＝r1c.令m＝r21c2＝4r21r21＋r22－r1r2＝41＋r2r12－r2r1＝4r2r1－122＋34，当r2r1＝12时，mmax＝163，∴r1cmax＝433，即1e1＋1e2的最大值为433.答案A二、填空题8．抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析由题意知Bp3，－p2，代入方程x23－y23＝1得p＝6.答案69．(2014·武昌区调研测试)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得d1＋d2＝|PA|－|AB|＋d2＝|PF|－1＋d2，|PF|＋d2大于或等于焦点F到直线l的距离，即|PF|＋d2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d1＋d2的最小值为522－1.答案522－110．(2013·安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a.由y＝x2，x2＋y－a2＝a，得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，即(y－a)[y－(a－1)]＝0.由已知a0，a－1≥0，解得a≥1.答案[1，＋∞)11．(2014·镇江模拟)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEFπ4即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝b4a2，取点A－c，b2a，则|AF|＝b2a，|EF|＝a＋c，只要|AF||EF|就能使∠AEFπ4，即b2aa＋c，即b2a2＋ac，即c2－ac－2a20，即e2－e－20，即－1e2.又e1，故1e2.答案(1,2)12．设F1是椭圆x24＋y2＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则PF1→·PO→的最大值为________．解析设P(x0，y0)，依题意可得F1(－3，0)，则PF1→·PO→＝x20＋y20＋3x0＝x20＋1－x204＋3x0＝3x204＋3x0＋1＝34x0＋2332.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，PF1→·PO→取得最大值4＋23.答案4＋23三、解答题13．已知抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，设点M(x0,1)(x00)在抛物线C上，且它到抛物线C的准线的距离为54.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(M，A，B三点互不相同)，求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．解(1)由定义得1＋p2＝54，解得p＝12，∴抛物线C的方程为x2＝y.(2)由(1)知点M的坐标为(1,1)，因此设直线AM的方程为y＝k(x－1)＋1，则直线BM的方程为y＝－k(x－1)＋1，联立方程组y＝kx－1＋1，x2＝y，得x2－kx＋k－1＝0，∵1为方程的根，∴A(k－1，(k－1)2)，∵Δ1＝(k－2)20，∴k≠2.同理B(－k－1，(－k－1)2)，∵Δ2＝(k＋2)20，∴k≠－2，令y1＝(k－1)2，∵AB→·AM→0，∴AB→·AM→＝2k(k－2)＋4k(2k－k2)＝－4k3＋10k2－4k0，解得k2或0k12，∴y1的取值范围为14，1∪(1，＋∞)．14．(2013·浙江卷)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.又y＝y1x1x，且y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理点N的横坐标xN＝84－x2.所以|MN|＝2|xM－xN|＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－4x1＋x2＋16＝82k2＋1|4k－3|，令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t0时，|MN|＝2225t2＋6t＋122.当t0时，|MN|＝225t＋352＋1625≥852.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|取到最小值852.15．已知抛物线M：y2＝2px(p0)上一个横坐标为3的点到其焦点的距离为4.过点F(2,0)且与x轴垂直的直线l1与抛物线M相交于A，B两点，过点F且与x轴不垂直的直线l2与抛物线M相交于C，D两点，直线BC于DA相交于点E.(1)求抛物线M的方程；(2)请判断点E的横坐标是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解(1)由题意可知3＋p2＝4，∴p＝2.∴抛物线M的方程为y2＝4x.(2)可求得点A(2,22)，B(2，－22)，设Cy214，y1，Dy224，y2，E点横坐标为xE，设直线CD的方程为x＝ty＋2(t≠0)．联立方程x＝ty＋2，y2＝4x，有y2－4ty－8＝0，从而y1＋y2＝4t，y1y2＝－8，又直线AD的方程为y－22＝4y2＋22(x－2)，直线BC的方程为y＋22＝4y1－22(x－2)．联立方程消去y化简得xE－2＝2·y1y2＋22y1－22y2－8y2－y1＋42＝2·－8＋22y1－22y2－8y2－y1＋42＝－4y2－y1＋42y2－y1＋42＝－4，∴xE＝－2为定值．新课标第一网系列资料