新知杯模拟卷(二)

2011年上海市（新知杯）初中数学竞赛模拟卷一．填空题（每题9分共90分）1.已知函数424)42()(24224xxxkkxxf的最小值是0，则非零实数k的值是_________．解：（-2）42)62(1)(2422xxxkkxf，因为2444xx，故61420242xxx当0622kk时，1minf，不合题意；当0622kk时，)62(611,12minmaxkkff，由条件知0)62(6112kk，解得2k或0（舍去）．2.记)0(,)33()(),(22yyxyxyxF，则),(yxF的最小值为__________解：518,设动点)3,(xxP与)3,(yyQ，则2),(PQyxF，点P的轨迹为直线3xy，点Q的轨迹为双曲线xy3，双曲线上的任一点)3,(00xx到直线03yx的距离106103300xxd，当30x时等号成立．故),(yxF的最小值为518．3.实数yx，满足6|1|2|1|3yx，则yx32的最大值是．解：由6|1|2|1|3yx确定的图形是以四边形ABCD及其内部，其中)4,1(A、)1,1(B、)2,1(C、)1,3(D．由线性规划知识知，yx32的最大值是4，当2,1yx时可取到．故填4．4.集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“}7,6,5,4,3,2,1{A，且若Aa时，必有Aa8”的所有非空集合A的容量的总和是．（用具体数字作答）解：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：}4{1A，}7,1{2A，}6,2{3A，}5,3{4A，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是：2242)8884(3．故填224．.5.某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．答案：191456.设函数2()2fxx．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是．答案：(0,2)7.已知m是正整数，且方程210100xmxm有整数解，则m所有可能的值是．答案：3,14,308.对一切满足||||1xy的实数,xy，不等式3|23||1||23|2xyyyxa恒成立，则实数a的最小值为_________答案：2329.设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A.如果方程20xmxn（,mnA）至少有一个根0xA，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为．答案：2310．已知关于x的方程2||2xkkx在区间[1,1]kk上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．答案：01k二.（15分）已知二次函数2()yfxxbxc的图象过点（1，13），且函数y1()2fx是偶函数.（1）求()fx的解析式；（2）函数()yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解（1）因为函数1()2yfx是偶函数，所以二次函数2()fxxbxc的对称轴方程为12x，故1b.------------------------------------------4分又因为二次函数2()fxxbxc的图象过点（1，13），所以113bc，故11c.因此，()fx的解析式为2()11fxxx.------------------------------------------8分（2）如果函数()yfx的图象上存在符合要求的点，设为P2(,)mn，其中m为正整数，n为自然数，则2211mmn，从而224(21)43nm，即[2(21)][2(21)]43nmnm.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)nmnm，2(21)0nm，所以有2(21)43,2(21)1,nmnm解得10,11.mn因此，函数()yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分三.（15分）已知是实数，且存在正整数n0，使得0n为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得n为有理数．证明：设0qnp，其中p，q为互质的正整数，则202qnp．设k为任意的正整数，构造2202npkqkn，则222220222qqnpkqknpkqkpkppQ．四.(15分)设2()(,)fxxbxcbcR．若2x≥时，()0fx≥，且()fx在区间2,3上的最大值为1，求22bc的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()fx在区间2,3上单调递增，故有(2)(3)1ff≤，从而5b≥且38cb．若()0fx有实根，则240bc≥，在区间2,2有(2)0,(2)0,22,2ffb≥≥≤≤即420,420,44,bcbcb≥≥≤≤消去c，解出4,54,44,bbb≤≤≤≤即4b，这时4c，且0．若()0fx无实根，则240bc，将38cb代入解得84b．综上54b≤≤．所以22222(38)104864bcbbbb，单调递减故2222minmax()32,()74bcbc．五.（15分）已知,Rab，关于x的方程432210xaxxbx有一个实根，求22ab的最小值．解设r为方程432210xaxxbx的实根，则有432210rarrbr，即222(1)()0rrarb.显然0r.------------------------------------------5分容易证明22224()()(1)arbabr，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)arbrrrrabrrrrrrr422444242242424(1)4(1)414144248(1)11rrrrrrrrrrrrrr.------------------------------------------15分当且仅当4224141rrrr且2arb时等号成立，此时21r，ab.结合222(1)()0rrarb可求得2,1,abr或2,1.abr因此22ab的最小值为8.------------------------------------------20分