物理竞赛练习(五)

物理竞赛练习(五)1.质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化BAvv和各为多少？2.如图（甲）所示，半径为r的半球形水池，装满密度为的水，要将池内的水抽干至少要做多少功？RR2R4ABCO图4-10-4)(甲3.大而深的静水池中竖立一固定细杆，其露出水面部分套着一个长度为L、密度为ρ、截面均匀的匀质细管。细管可沿杆无摩擦地、竖直上下滑动，因套在杆上，不会倾倒。现在用手持管，使管的下端刚刚与水面接触，放手后竖直下沉。设水的密度为ρ水，不计水的阻力和表面张力。(1)当管的密度ρ等于某一值ρ0时，管能下沉到刚好全部没入水中，求ρ0。(2)在ρ=ρ0的情形下，管下沉所经历的时间等于什么？(3)设管的密度ρ=2/3ρ水，求管下沉到最后位置所需的时间。4.在野外施工中，需要使质量m＝4.20kg的铝合金构件升温。除了保温瓶中尚存有温度t＝90.0℃的1.200kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t0=10℃升温到66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0=4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。5.三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3．现把这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值，使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等．6．如图所示，半径分别为2r、4r、6r的三个同心导体球壳，球心有点电荷Q，另有A、B、C三点到球心Q的距离分别是r、3r、5r，要使这三个点的电场强度相等即EA=EB=EC，问三个球面各需带电量多少？1.解:（1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为1v，乃有RmvRGMm2)2(212故得RGMv21此时飞船的动能和引力势能分别为RGMmmvEk421211RGMmEp21所以飞船在2R轨道上的机械能为RGMmEEEpk4111同理可得飞船在4R轨道上的机械能为以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即RGMmEEE812（2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为RGMv21同样可得飞船4R轨道上运行的速度为RGMv42设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为21vv和。则由开普勒第二定律可得RvRv4221又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有RGMmvmRGMmvm4212212221联立以上两式解之可得RGMmv321RGMmv32212故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为RGMvvvA213411RGMvvvB4321222.分析：按题目的要求，是将水抽至水面就可以了，可以设想将水分成n层，将一层一层的水即“微元”抽至水面即可。解：如图17-147（乙）所示，设水面第i层水柱为一微元，池水被分为n层，第i层水柱的半径为22)(nrirri则这层水的质量为nrnrirnrrmii])([222将这层水抽出去要做的最小功为)(nrigmWi)(])([22nrignrnrir22424][nginrir2224]1[ninigr][4324ninigr所以]2121[433324nnnngrW总]4141[]4)1(21[2442224ngrnnnnnngr当n，即0412n，则441grW总点评：此题使用的是微元法，然后使用数学方法求和得出结果，若此题不用这种方法，会很难下手。3.分析：依题意水。如图19-132所示，设管静平衡时浸入水中0长，由平衡条件得SgLSg0水S为管的截面积，所以L水0(1)以静平衡位置为原点，建立如图7-15所示的坐标，描述管上P点的运动。P在处时，有VgmaF水浮方向向上，浮F是其回复力，得r1rnrinr层n层第i)(乙图17-147PPO0图19-132gSmaF水回(2)其回复力符合简谐振动的定义，所以管在水中做简谐振动，且kmT2，而gSkLSm水,则gLT水2(3)管下沉到刚好全部浸入水中时，速度为零，而管子由刚好全部在水面上速度为零，而运动到全部在水面下速度为零，位移为管长L，由振动的对称性可知，管子做振动的平衡位置在位移L/2处，2/0L故求得：.210水当0时，下沉所需时间为T/2，所以.2gLt当032水时，管在全部没入水中后还将继续下沉。但管全部入水后的下沉过程中，浮力不再改变，其运动加速度与全部没入水中前不同，所以应把管的下沉过程分为两个阶段来考虑。第一阶段为管从开始下沉到刚好全部没入水中L，其平衡位置为LL320水由○3式及○1式得gLgT32220静止开始时，管离平衡位置的距离为,320L故简谐振动的振幅为LA320利用参考圆可以求出这一阶段的下沉运动所需时间gLTt231323第二阶段，管全部浸入水中后，继续下沉，做匀减速运动。可以由动能定理求出刚好全部浸没水中时管的速度，即有2222121SLSgLgSL水得2gL下沉加速度gSLSLga21水方向向上，所以下沉时间gLaat202得下沉的总时间gLgLgLttt232232322321解：（1）若水，管将下沉到池底，因此只有水时，才可能符合题给的情况。管下沉时，其重力势能减小，同时，在管全部沉没以前，管所排开的水可认为静止地移到池面（这部分水的重心在水下L/2处），这部分水的重力势能增加，管沉没的开始阶段，其动能增加，以后动能减小，在下沉停止时动能又为零。按题意，若0值时，管刚好全部没入水中，令管的截面积为S，有管的重力势能减小LSLgE0管，这时管所排开的全部水的势能的增加等于所排开水柱的质量乘以其重心上升的高度，所以管所排开的水的重力势能增加2LSLgE水水。不计水的阻力时，可以认为下沉过程中管与水的总机械能守恒。因为始末动能均为零，应有水管EE，即gSLgSL22021水得水210（2）研究管下沉的运动。当管下端的深度为L时，管受重力SLg，浮力gS水，管所受合力（不计表面张力、阻力）为水LSgF(1)方向向下，若0是，管受合力为零，则由○1式可得L水0(2)代入0得L210管入水后的加速度为22100LLggLgSLF水(3)可见管入水后应做竖直方向的简谐振动，振幅为当L时，g，又aA2，得gLT22(4)管下端由0到L（全部没入水中）所需的时间t为半个周期，则gLTt22（3）由于水水2132，管在全部没入水中后还将继续下沉。但管全部入水后的下沉过程分为两个阶段。第一阶段是管从开始下沉到刚好全部沉入水L。在这一阶段中，在水的情形下，第（2）问中的(1)、(2)、(3)、(4)式都适用。因此这阶段中管按简谐振动规律运动，其平衡位置在LL320水简谐振动周期为gLgT32220由静止开始时，管离平衡位置的距离为L320，故简谐振动的振幅为LA320。利用参考圆可以求出这一阶段的下沉运动所需的时间t1。设质点沿半径为LA32的圆周以角速度T2运动，质点在轴上的投影即代表管下端的运动。如图19-133所示。当管刚好全部没入水中时，L，已越过平衡位置。从参考圆可得，在管下端由0下沉到L时，质点运动所转过的角度为32，所以管下沉的第一阶段所需时间为gLgLTTt231323232323/2第二阶段是管全部浸没水中，L时，管仍向下运动，其速度用动能定理求出。有2222121LSSgLgSL水(5)得gL水22LA32LL3132O30图19-133所以2gL管下沉到最低位置阶段中，浮力等于SLg水不变，求出向下加速度2gSLSLga水即管在这阶段中做匀减速运动，所需时间gLgat222管下沉到最低位置共需时间gLgLgLttt2322323223211点评：从分析与求解过程中可知有多种解法，可以多种角度考查浮力知识、运动学和动力学知识。本题利用参考圆来分析，求解相应、时间、速度等比较方便，但要注意对应关系。如图19-133所示的轴原点在右端而不在圆心上。4、参考解答1.操作方案：将保温瓶中90.0t℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分，与温度为010.0t℃的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到1t，将这部分温度为1t的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为1t的构件充分接触，并达到热平衡，此时构件温度已升高到2t，再将这些温度为2t的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为2t的构件升温……直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。2.验证计算：例如，将1.200kg热水分5次倒出来，每次倒出0m＝0.240kg，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为1001()Qcmtt（1）构件吸热为110()Qcmtt（2）由11QQ及题给的数据，可得1t＝27.1℃（3）同理，第二次倒出0.240kg热水后，可使构件升温到2t＝40.6℃（4）依次计算出1t～5t的数值，分别列在下表中。倒水次数/次12345平衡温度/℃27.140.651.259.566.0可见5t＝66.0℃时，符合要求。附：若将1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，依次算出1t～4t的值，如下表中的数据：倒水次数/次1234平衡温度/℃30.345.5056.865.2由于4t＝65.2℃＜66.0℃，所以如果将热水等分后倒到构件上，则倒出次数不能少于5次。评分标准：本题20分。设计操作方案10分。操作方案应包含两个要点：①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。②倒在构件上的水与构件达到热平衡后，把与构件接触的水倒掉。验证方案10分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同，但必需满足两条：①通过计算求出的构件的最终温度不低于66.0℃。②使用的热水总量不超过1.200kg。这两条中任一条不满足都不给这10分。例如，把1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，尽管验算过程中的计算正确，但因构件最终温度低于66.0℃，不能得分。5、由电容C、C组成的串联电路的等效电容CCCCC串由电容C、C组成的并联电路的等效电容CCC并利用此二公式可求得图示的4个混联电路A、B间的等效电容Ca、Cb、Cc、Cd分别为32132312132121aCCCCCCCCCCCCCCC（1）23132312123131bCCCCCCCCCCCCCCC（2）33213231321321cCCCCCCCCCCC