物理竞赛辅导之直线运动

物理竞赛辅导讲义第一部分：直线运动提高题1．汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动．当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车．根据上述的已知条件：A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间D．不能求出上述三者中任何一个2．火车以54hkm/的速度沿平直轨道运行，进站刹车时的加速度是2/3.0sm，在车站停1min，启动后的加速度是2/5.0sm。求火车由于暂停而延误的时间。3．客车以速率1v前进，司机发现同一轨道正前方有一列货车以速率2v同向行驶，2v1v，货车车尾距客车距离为0s，司机立即刹车，使客车以加速度大小为a作匀减速运动，而货车仍保持原速度前进，问：①、客车加速度至少多大才能避免相撞？②、若0s=200m，1v=30m/s，2v=10m/s，客车加速度大小a=1m/s2，两车是否相撞？③、若0s=200m，1v=30m/s，2v=10m/s，客车加速度大小a=0.2m/s2，要求两车不相撞，则2v应为多大？4．一个人坐在车内观察雨点的运动，假设雨点相对地面以速率v竖直匀速下落，试写出下列情况下雨点的随时间变化而运动的运动方程和轨迹方程：①、车静止不动；②、车沿水平方向速率u匀速运动；③、车沿水平方向作初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a；④、车以线速度大小v做匀速圆周运动5．一只兔子向着相距为S的大白菜走去。若它每秒所走的距离，总是从嘴到白菜剩余距离的一半。试分析兔子是否可以吃到大白菜？兔子平均速度的极限值是多少？6．如图所示，一个质点沿不同的路径从A到达B：沿弦AB，沿圆弧ACB，沿圆弧ADB，且经历的时间相等，则三种情况下：A、平均速度相同B、平均速率不等C、沿弦AB运动平均速率最小D、平均加速度相同7．一辆汽车从静止开始作匀加速直线运动，在第9妙内的位移为8.5米，求第9妙初和第9妙末的速度多大？8．一个小球从45米高处自由下落，经过一烟囱历时1妙，求烟囱的高度？（忽略空气阻力）9．一个小球从屋顶自由下落，在st25.0内通过高度为2m的窗口，求窗台到屋顶的高度？（忽略空气阻力）10．如图所示，一辆长为L的小车沿倾角为的光滑斜面下滑，加速度大小为sing，连续经过两个小光电管A和B，所经历的时间分别是BAtt,；求小车前端在两光电管之间运动的时间。一、图像法例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。AB两地相距s，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为。。例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为：A．sB．2sC．3sD．4s例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2为多少？老鼠从A点到达B点所用的时间t为多少？二、微元法例1：如图所示，一个身高为h的人在灯以速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程△t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端C点到达C′点，由于△SAA′=v△t则人影顶端的移动速度hHHvtShHHtSvAAtCCtC00limlim可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。（本题也可用相似三角形的知识解）。三、等效法例1：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度。解析从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为nannaannanaaaaa2)13(232)1(2末初平由匀变速运动的导出公式得2022vvLaB平解得naLnvvB)13(20四、递推法例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）、nt时刻质点的速度；（2）、nt时间内通过的总路程.解析根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.（1）物质在某时刻t末的速度为atvt2t末的速度为atatvatvvttt2,222所以3t末的速度为atatatatvvtt32322……则nt末的速度为natvvtnnt)1()321()1(32natnatatnatatatatnnnnat)1(21)1(21（2）同理：可推得nt内通过的总路程.)12)(1(1212atnnns例2：小球从高mh1800处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小)2(1nn，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）解析小球从h0高处落地时，速率smghv/60200第一次跳起时和又落地时的速率2/01vv第二次跳起时和又落地时的速率2022/vv第m次跳起时和又落地时的速率mmvv2/0每次跳起的高度依次40222202112,2nhgvhnhgvh，通过的总路程mhhhhs222210mhnnhnhhnnnnhhm300351112)1111(202202002242200经过的总时间为mttttt210sgvnngvnngvgvgvgvmm183)11(])1(2121[2200010……五、极限法解析：当斜面光滑时，=0，物体上滑与下滑加速度大小相等，故仅B正确。再看如下一例：解析：当k=1时，空气阻力为零，则空气阻力与重力之比当然为为零，故仅C正确。六、对称法例：如图所示，竖直上抛一个小球，小球两次经过高度为h处经历的时间为t，球小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间？（忽略空气阻力）解析：根据竖直上抛运动的对称性特点，设上升最大高度为H，则：2221)2(21mgttghH故小球在空中运动的时间为：T=42222tghtm小球上抛的初速度大小，就等于下落的末速度大小：小球上抛的初速度大小，就等于下落的末速度大小：ggtvm0422tgh七、自由弦运动的等时性及应用例1：一个物体沿有共同底边（其长度为L），的不同斜面，从顶部由静止开始无摩擦滑下，证明：沿450倾角的斜面滑下，所需时间最短，为：gLt2min例2：（1990年第二届全国中学生力学竞赛试题）一个质点自倾角为的斜面上方定点A，沿光滑斜槽从静止开始滑下，为了使质点在最短时间到达斜面，求斜槽与竖直方向的夹角应等于多少？解析：为了画一竖直圆通过起点A，并与不同终点的连线相切；可以先通过起点A作一水平线与斜边延长线交于'o，然后作CAo'的角平分线交过A点的竖直于O；以O为圆心，以OA为半径画圆，如图所示。可以看出从A运动到在圆周上的的切点2B，所需时间最短；又因为为等腰三角形2OAB顶角的外角，应等于不相邻的两内角之和，即：=2。提高题1．A2．100s3．①、022212)(svv；②、略；③、2v)5430(m/s4．①、vty②、utx；vty；vuyx③、221atx；vty；2221vyax④、vty；222Ryx5．不能；0分析：兔子每秒走的距离分别为nSSSS2..........22232、、，是以等比级数衰减，所以只有时间趋于无限大时，其总和才等于S，即兔子不能吃到大白菜。兔子做减速直线运动，每秒的平均速度越来越小，平均速度的极限值为零。6．A、B、C、7．8m/s；9m/s8．25米9．4.28m10．2)11(sinBAABttttgLt