2015年郑州市竞赛高一数学试题

2015年郑州市高一数学竞赛试卷（2015年5月10日上午8:30—11:00）一、选择题（每小题6分，共30分）1.已知集合{1,2,3,4,5}S，集合A是S的非空子集，满足aA，且(6)aA，则这样的集合A的个数为（）A.5B.6C.7D.82.已知函数2213cos3cos()sincos1xxfxxx，xR，则()fx的值域为（）A.(,7]B.[7,)C.(,7]D.[7,)3.方程623(2)2xxxx的解集为（）A.{2,1}B.{1,2}C.{1,2}D.{1,2}4.在四边形ABCD中，ABm，CDn，则()()ABDCBCAD（）A.22mnB.22mnC.22nmD.22mn5.一根长度为1的玻璃棒摔断成三段，则最短的一段的平均长度为（）A.19B.18C.17D.13二、填空题（每小题5分，共30分）6.一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．俯视图侧视图正视图7.已知不等式2sin1xxtt对于[1,1]x且(,1]时恒成立，则实数t的取值范围是________．8.已知圆22:1Cxy和两个定点(1,0)A，(1,0)B，点P为圆C上的动点，过点P的圆C的切线为l，点A关于l的对称点为D，则AD的最大值为________．9.已知实数,ab满足22430aba，函数()sincos1fxaxbx的最大值记为(,)ab，则(,)ab的最小值为______．10.定义在R上的函数()fx满足()(5)16fxfx，当(1,4]x时，2()2xfxx，则函数()fx在[0,2015]上的零点个数是_______．三、解答题（本题满分20分）如图，在△ABC中，ABc，BCa，CAb．其中14a，BC边上的高为12，内切圆半径4r．求AB的长．NDMOBCA四、解答题（本题满分20分）设正三棱锥VABC的底面边长为4，侧棱长为8．过A作与侧棱VB、VC相交的截面AED，求截面三角形AED的周长的最小值．VABCDE五、解答题（本题满分20分）已知n为大于1的自然数，求证：不能在nn的方格表中填入数1，2，…，2n，使得每行和每列数之和都是2的方幂．六、解答题（本题满分20分）已知1x，2x为方程220xxa的两根，321()3fxxxaxa．若12()()0fxfx，求实数a的取值范围．