数列竞赛习题及解答

高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列na的通项公式2245nann，则na的最大项是（B）A1aB2aC3aD4a3.（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为（A）A.2007B.2008C.2006D.10044．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|1251的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．8解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-31的等比数列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)=311])31(1[8n=6-6×(-31)n，∴|Sn-n-6|=6×(31)n1251，得：3n-1250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=nnxx313，则20051nnx=（）A．1B．-1C．2+3D．-2+3解：xn+1=nnxx33133，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+6),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+3,x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1，……，∴有2005111nnxx。故选A。6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}nnab、的前n项和分别为nA，nB记(1)nnnnnnnCaBbAabn则数列{nC}的前10项和为(C)A.1010ABB.10102ABC.1010ABD.1010AB7．（2006年浙江省预赛）设)(nf为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如14321)123(222f。记)()(1nfnf，))(()(1nffnfkk，，,3,2,1k则)2006(2006f＝(A)20(B)4(C)42(D)145.（D）解：将40)2006(f记做402006，于是有164204214589583716402006从16开始，nf是周期为8的周期数列。故.145)16()16()16()2006(48250420042006ffff正确答案为D。二、填空题部分1.数列na的各项为正数,其前n项和nS满足)1(21nnnaaS,则na=___1nn___.2．（2006天津）已知dcba,,,都是偶数，且dcba0，90ad，若cba,,成等差数15101051146411331121111列，dcb,,成等比数列，则dcba的值等于194．3.（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则)(lim3nSnn=___________。4．（2006年江苏）等比数列na的首项为12020a，公比12q．设fn表示这个数列的前n项的积，则当n12时，fn有最大值．5.在x轴的正方向上，从左向右依次取点列,2,1,jAj，以及在第一象限内的抛物线xy232上从左向右依次取点列,2,1,kBk，使kkkABA1（,2,1k）都是等边三角形，其中0A是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是2005。【解】：设第n个等边三角形的边长为na。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点nB的坐标为（2121nnaaaa，223121nnaaaa）。再从第n个等边三角形上，我们可得nB的纵坐标为nnnaaa232122。从而有22323121nnnaaaaa，即有2211212nnnaaaaa。由此可得221212nnnaaaaa（1）,以及211121212nnnaaaaa（2）（1）－（2）即得))((21)(21111nnnnnnnaaaaaaa.变形可得0))(1(11nnnnaaaa.由于01nnaa，所以11nnaa。在（1）式中取n＝1，可得2112121aa，而01a，故11a。因此第2005个等边三角形的边长为20052005a。6.(2005年浙江)已知数列nx，满足nxxnnn1)1(,且21x，则2005x=!20051!2005。【解】：由nxxnnn1)1(，推出1111nxxnn。因此有)!1(12)1()1(1)1()1(1)1(11111211nnnnxnnnxnnxnxxnnnn.即有1)!1(11nxn。从而可得!20051!20052005x。7.(2005全国)记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221iTaaaaaMTi将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A．43273767575B．43272767575C．43274707171D．43273707171解：用pkaaa][21表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.iiMaaaaaTiaaaaaTiM中的最大数为107]2400[]6666[。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而10]396[7]1104[将此数除以47，便得M中的数.74707171432故选C。8．（2004全国）已知数列012,,,...,,...,naaaa满足关系式10(3)(6)18,3nnaaa且，则1nioia的值是_________________________。解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,nnnnbnabb则即1111113610.2,2()333nnnnnnbbbbbb故数列1{}3nb是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333nnnnnnbbba。112001112(21)1(21)(1)2333213nnnniniioiiibnna。9．（2005四川）设tsr,,为整数，集合}0,222|{rstaatsr中的数由小到大组成数列}{na：,14,13,11,7，则36a131。解：∵tsr,,为整数且rst0，∴r最小取2，此时符合条件的数有122C3r，ts,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323C同理，4r时，符合条件有的数有624C5r时，符合条件有的数有1025C6r时，符合条件有的数有1526C7r时，符合条件有的数有2127C因此，36a是7r中的最小值，即13122271036a三、解答题部分1．（2006天津）已知数列}{na满足pa1，12pa，20212naaannn，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得na的值最小．【解】令nnnaab1，,2,1n由题设20212naaannn，有201nbbnn，且11b………5分于是)20()(11111niniiiibb，即)1(2)]1(21[1nnnbbn．∴12)40)(1(nnbn．（※）…………………10分又pa1，12pa，则21123172012aapaaa．∴当na的值最小时，应有3n，1nnaa，且1nnaa．即01nnnaab，011nnnaab．……………………15分由（※）式，得2)41)(2(2)40)(1(nnnn由于3n，且*Nn，解得4040nn，∴当40n时，40a的值最小．……………………………………………20分2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2)3sin,设tan,tanxy,记()yfx。(1)求()fx的表达式;221)(xxxf(2)定义正数数列2*111{};,2()()2nnnnaaaafanN。试求数列{}na的通项公式。12212nnna.3．（2006安徽初赛）已知数列0nan满足00a，对于所有nN，有12301115nnnnaaaa，求na的通项公式．4.（2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。（22004+1）5．（2006年南昌市）将等差数列{na}:*41()nannN中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{nb},求2006b的值.解:由于6015nnaa,故若na是3或5的倍数,当且仅当15na是3或5的倍数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{na}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{nb}的项8个,为:71b,112b,193b,234b,315b,436b,477b,598b,于是每个区间段中恰有15个{na}的项,8个{nb}的项,且有kbbrrk608,k∈N,1≤r≤8.由于2006＝8×250+6,而436b,所以1504343250602506062006bb.6．（2004湖南）设数列}{na满足条件：2,121aa，且,3,2,1(12naaannn)求证：对于任何正整数n，都有nnnnaa111证明：令10a,则有11kkkaaa，且),2,1(1111kaaaakkkk，于是nkkknkkkaaaan11111由算术-几何平均值不等式，可得nnnaaaaaa132211+nnnaaaaaa113120注意到110aa，可知nnnnnaaa11111，即nnnnaa1117．（2006年上海）数列na定义如下：11a，且当2n时，211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．已知3019na，求正整数n．解由题设易知，0,1,2,nan．又由11a，可得，当n为偶数时，1na；当(1)n是奇数时，111nnaa．………………（4分）由3019na1，所以n为偶数，于是23011111919na，所以，2n是奇数．于是依次可得：1219111na，12n是偶数，24198111111na，24n是奇数，2141118na，64n是偶数，681131188na，68n是奇数，618813na，148n是偶数，1416851133na，1416n是偶数，1432521133na，14